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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
7 |4 L' D0 Y/ R) L; w
2 P5 Q2 q+ u0 q* W$ { 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡1 [, ^. K" f0 M- a
: e* c& h! ]4 L8 ^9 S' s1 `
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
+ W1 Q$ G1 p* [3 j C: b
- T, e5 {8 y+ k( x/ c1 w, {原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,& |3 N- g ^ L* Q5 V3 l
p' _# h8 T9 Y5 b* N就算打赌,也要精“打”细算。
( i" G% O! S& k$ H7 ~8 k$ `: e5 {+ P* _* v5 G6 \1 E3 U% G
完美的DB9 i' h' i. h! h; t) \
E8 o4 ]$ g( v. e+ v2 m% m/ I6 B6 B/ s4 c" A
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。$ z% C8 T2 c6 p6 `( \4 v
+ Q$ ~8 w1 z7 k3 Y a7 C粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
( F5 g" S; { u. h3 w) f! z% G) r/ ] _1 z
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我
0 k2 [0 F* J3 x- @0 m, Q/ m0 R2 H& k( ]2 x$ R' f, Y4 ?
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!5 {0 J7 q8 @6 q5 t9 Z
8 |& Z# h" g$ m方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,4 ^. c: w6 X, R9 s6 I' ?
. G& c# T& H$ ~" }" L7 W
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为 ^3 u& P! ~' q$ D# y; c
! R" p& }1 i& I) y: l5 D
正,就会跟我们打赌:' B! t* r. g! ~* d3 N* }/ g, i! ]
" h6 f" m. A/ O4 F) s" y) k2 a
p * x - ( 1-p ) * y > 0
2 ^/ K# k5 P; _# u" S* r+ `q * x - ( 1-q ) * y > 03 _4 d. b! N t6 V
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
! s% ?9 v- s- ]1 X: ` p+ n( @2 k+ c8 F, Z" d) ~: n0 \
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
/ v4 u# p+ W) ~" n
' x% P) v& T; D! I$ _- q: l* z' d7 s8 p5 ~4 x1 ?, ~5 v
) u# L6 }# F3 j
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
) k- j5 ]$ @& p0 M _7 [2 c2 x" _# g
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又2 u: I( Y* l4 W6 i& h; L
+ m" M0 T+ p& g! T' p' D* |是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?# `( N$ i) @9 @2 ]3 G. J E9 b
( d9 m5 K% T( x* T3 e
# ?/ {8 Z. u* f三张卡片的骗局
8 o! w+ I: T# N7 z2 R
, D- I4 U2 f% s0 Y4 M6 Z' R# f- W3 p# D4 d# {
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是- b6 i# g: ^9 p f' y8 }
/ a9 Q: v/ l+ R; {$ O红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
9 V1 S; l) ]+ D( N1 `$ ~$ T+ U/ a9 E! P5 @' b
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面, O3 B& {0 U5 ]9 U- X6 ]0 `9 \" ^
* w8 L! T. X7 O' F
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。5 h, z6 g. s/ b) Q4 q6 N
2 _% r+ e: e1 q4 E$ [+ g5 `事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
% q+ o8 ~9 D, h% y1 A# B& U; e! _
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:7 F! ^; E5 z! ^4 U& x
5 ^) @. n. k! o/ v# f( c4 V, {) m* i. u4 \. L" e
, p- ~7 U5 s$ M* X+ A* g
' J9 w. C4 G0 y* F7 K" i6 C8 l' M0 E2 {' L+ C6 `
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色) G$ a% a5 W) s e* x
$ c- c, f1 L# P6 d
的情形占了2/3。/ K- [) E, v* d4 N
, z8 r" ]9 w0 Q3 |0 p7 T7 v$ ?- ~8 ]
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这) W, W w3 E, R! w- G. V
6 c# G4 M ~- I n个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国/ \7 }% }$ X3 _$ q# U! C, @( t
* Y7 I% I ~* A+ z数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)8 _5 I6 P/ |- c: a4 l4 n1 z: Q+ `" P
! R0 {& W7 I) C# r4 N称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。
+ f6 }( I- p* S1 h7 P' W# n9 p# w9 C8 ^9 L4 N& W
如此不平凡的黑桃A
6 W7 E, ? @8 P- @4 e7 g5 n3 k9 V) F1 N& V
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面7 ]. l2 M6 G, Z' p+ V' D% e
- k/ D/ W' r7 ?1 m# ^& @
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
* e3 ^$ p" l) {8 w$ [1 I4 |7 e1 V9 G9 v; d! E% J! J; K$ Z$ K
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
! B" G, q0 \" v" k) [+ i* _( P5 s- g- _# e: J2 `
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
2 s3 O8 q! C. S \2 R
* u5 S& Z' C/ b1 E: D还有没有更多的A?”
$ ^8 _( x) u: e! V: Y2 c
1 z0 C3 X3 f8 g A0 _/ f很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人4 t3 W; j2 t$ K. ~" Q8 w5 n, g
3 N+ n, l5 C1 v$ V/ }不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:$ ~; \6 Q5 ]- L4 x, u; d
, B! a1 M& ^' d: a没有A的情形:C(48,13)
% k+ `# t. D5 S* n- h+ O" p7 Z% e& [1 w5 R: Q m% ~
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)
$ f: v4 V S& [& I4 D' O7 W- l9 E7 T* y3 Z( L, F
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)3 r4 q; \: L6 C6 S
6 w: c' n& K1 {# I: H3 b: Z" d
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)8 r& [9 d% A; f
9 |; T# r, `, B2 N8 l7 V1 I6 f
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:+ K) X& v) F) Y, F3 ~
2 I9 z6 \7 A3 ]2 w2 iP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
& E* ~& p9 o) y(C(52,13)-C(48,13))≈37%
$ u: d; ~4 i4 ]; ?' R$ e- r7 I. `8 Z i6 x, r9 g
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家2 P# @. l* x1 f/ f5 v) g
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
, @2 R q) f$ \9 f& _
9 U( ?9 ]8 q7 i) A( R7 x9 K接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
$ e- ?/ {8 j- d$ Z1 u, ?/ D" E( p5 o5 Y' z' j
有黑桃A的情形:C(51,12)0 w2 |5 Y2 Y! _. B
) Z5 r* }$ h5 { G% V2 V# j
没有其它A的情形:C(48,12)
8 K4 }7 A+ J+ ?2 m4 Q* x3 [. X0 v6 t; E
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
4 A0 T; z3 p4 L- ^9 B" `4 |! u% J2 ]( u) S0 o
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:# a1 o* Y# h7 P/ `
. ~/ ^+ {! \- g- A) B
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。& j4 [3 g; z3 B/ P+ H9 p
4 W8 d8 Y+ Z' n9 x) w% z9 V
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
$ |7 y* Z! r4 C1 k3 S) U9 S& ?/ N- G1 l1 o5 C8 g4 h
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
7 h3 u5 Z2 e4 h( E3 W$ y& I% u: B+ p0 r# C/ h
你是传说中的死理性派!) \* n) Q! I) [/ @. s
$ d+ n: R( B0 w- [, f
% [% V' y7 Z6 a8 o4 G1 t9 i% u
: j8 N( p+ Q' X. n
, z% f6 q% f6 ~# c7 C) \0 V% \6 X/ I) D
( y3 u) v! H9 M, d& i0 }4 p
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