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引言 1 K3 I  e& _( o# X$ J" m

, z) H: w! D* Z2 A在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
# J4 z2 S; i4 S; x
8 {  ~5 z0 x0 ~; A/ O9 z. w* X问题 3 }6 E- C3 q# j2 g/ e. B+ `0 T/ j

+ b7 [. X; O, r* p, f3 \! N+ j3 A" S, Z$ @7 @4 a' i0 O  u9 |
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
1 v/ q" v0 R$ t. l* D1 }
) m  m" k9 D/ |; i0 y+ h当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 / D5 Y' R% H/ v9 ^! X( o; n

. t/ d: n1 v+ k" U# A# L本文 6 {! ?$ C: d: a. C6 f2 L( z" X' E
5 V. i  A: B+ G/ L
( J( a# o! s  P. s
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 6 ]4 b/ E' J. d! Q0 l" y- e

- Z2 z9 e) F3 o( v) R: Y# l5 Y为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
2 M1 O$ X- z8 b% N% P, ]) U8 ?$ q* ^7 C8 H* h

( q- }& F# v' X6 a) \  _9 S方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
) i- k* N1 t' o1 l方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) ; t& \7 Y5 X5 W+ H+ X
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
1 e) Q$ C) X0 G! c6 ?4 C2 e你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 # w9 ]# x4 i" {% c6 E) h0 n

- _2 y4 m% _& R8 o: y首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 # `  r/ I% x5 T) L3 C4 Z9 V

' ?8 \2 V6 |/ w' @) X++,
4 n- H! I4 r# p0 e9 N+-++,-+++,
5 V" y6 R2 n. T4 M/ u8 s+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 3 D8 F6 t& F7 I# a8 ^9 ~9 C" \0 B
                                                                                                。
6 t0 X$ l4 k5 Q2 ^. F在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 6 V7 i! [3 x6 }
; q% J  w8 z2 |( U6 s
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& W9 D2 j' D: d& K
- m4 Q. H) h9 @3 \; v+ A$ _0 w5 b+ E
& Z) n! c, ^: N2 z+ Y( m; _, ~* @' A0 C- r- ~9 s* t: A/ \- a) i
; T5 q) Y+ I; l; |5 n; ~! ?
* ?' I! @' C! @4 s. U

. U& D( ~* P/ o3 ?6 e1 a
- A& }/ @3 q* S7 E% P现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
7 b6 v) ^4 P9 Q  Y6 F  Y- J/ V: h. ]9 \5 M8 C, {9 X* m
++,+-+, 4 t% v. U; l# t- f
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) , }0 i; ]- o$ z# N5 |. N6 Z0 ^
-+-+++,-+-++-+,
0 l* f! ~, s+ }- q( W, i: b                                 
* O/ K8 ?5 J7 |" M, ,
" U7 F: n6 F5 H$ l" i$ H) X$ C& V                                                                                。
$ {5 ~& Y/ E5 l$ v3 z# e% ^, s7 A- c! D3 q
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
8 Q1 D& X  y/ A2 Y5 G6 s
8 \$ d2 j8 o' K; r0 j4 J
! W, B, X0 U8 ]7 M" b7 k& B
. Q. i! L: ^- A, k9 K' O( S1 j0 d3 ]. D$ [- Y0 ^

3 ?  O/ y) P8 D( j: ?
9 ]2 q8 |6 y8 W2 O# T, j2 O+ l' w/ I- Z3 O- i
) k  v8 @7 F. E3 b& q
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
8 E: F' r' D  c7 Z& c1 N; ^, P2 f- x8 J$ H, I& Z
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 ; v- I# C* C8 b5 L  X- \

% ~$ Z/ k* \7 W" o+ ]$ [这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 1 s* S% e" N3 g, y- f5 C

/ Y7 T2 t7 x, P5 w9 l现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: H8 o$ p( R; G. i' p( T% X
; _! Y- h5 q1 b( K
+ e& _2 p! Z) V9 V: |" T情况一:  + t% f. @1 t6 Z
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 - x, k$ R* G( z6 H( ]

9 s/ x3 Z: r6 I% A) `" ~% ?情况二:  ! X. j! l9 B: b  ]* ?- a
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
( _' j! e( u! o- x
+ m* O8 F0 g4 X) I情况三: # X$ _& F" ^9 Q% u' P% ]0 D
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 3 F  j( i& ?  e6 z. Q1 E

0 O2 W7 r7 t9 [7 n现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
  S  n# D9 w- C6 g  n$ M
. \5 R: M, a; i4 t$ N由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 ( ?2 v% }0 ]* Y# U
* L9 \4 [* E4 n
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 ' J( P7 k& `2 ^

! c! J1 X& t6 G# F% P( D: Z: j3 j5 m; O! B! t
情况一:  
. e( e, P. Y. L6 c6 Q4 Y9 C假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
( x) Z( o' ^7 y0 ?) t$ R) S: d
: ?% k* `( D& E" f% l! U% g3 p; C% X: Z6 w7 j5 f9 [/ ~- U' f# c
- D2 r3 J0 U& Y: J
, c; b* U5 k  I2 B

" E$ Y$ k1 T+ b, N
3 r% a: V  K. N4 R* y1 I/ w4 r这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; n* U, u/ p5 x4 ?; t2 @1 M, m
) H& @7 i# q! I$ r; s: W9 o情况二:  
6 r1 s% A! m+ |6 Q令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
8 G2 F) i7 s4 Z# C8 @3 p: b2 I8 R

, \/ ^/ d% b1 i: R0 F# G4 R3 u. n6 L. {) k( q( H

" [; Y) b' Q; @+ F7 S$ F; G" p% v1 o% N8 B4 z+ F

: W  \8 l' |4 v* ]9 X# N这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 * `4 J8 ^% D% m! `
利用p+q=1,上组方程式可改写为 1 i9 O' `7 W9 Y6 b0 Z& ?

5 i" n) \: Q$ B
& j6 k8 G; o4 e) L& e; q/ c' V( z& K9 N8 A

# Z* T# p5 n8 [2 {5 z' y" w& J* O2 w* _" N
" W3 f0 {! k) s, D" _8 G
两边相加,并利用 、,得
+ e" j  H8 c  W% Y, J( f) L3 n# O4 O$ \

+ ?4 Y' L" t6 X2 S! {
' h  O5 x2 v" p
- t+ y! X7 l4 G/ u
4 h, S5 v2 J& L7 w
2 ~6 I+ ~, E' |8 r1 w, b( y! Y若取前 c 项相加,则得 8 J& Q. @! d1 t
1 H( T, @6 r6 w! b0 i; b: y# `0 T

" s1 I1 [* S: [8 O
6 j/ `- n: X: [+ A  m1 y# D) y9 m# }4 [! k
/ p% r# h( r! `4 C# Y+ A. H* A
# v$ n$ Q! Y: B* n& i
情况三:  
' o# B/ ]9 k# C& l- A- ~仿二之解法,可求得
! v% p2 ~7 x; P3 E6 |9 X$ F8 K* Z' \) K

( J% n; N, [& r) A5 c. y
3 b1 V) I& Z+ |) z( E) R  Y2 Z6 X% [# Q4 `

0 d! f7 o9 u5 e
+ m& C1 \+ h0 D) m9 K& P3 ?: n/ Q1 A
3 ~) B  I  e, B. C- m保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
3 }8 R: C, V6 b' x( j9 h% A3 Z* r5 c$ T
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 ) m( v8 D) a  h! v- _, F
$ T, w  M& `+ J
1 B3 _7 p" B' F
定理:
4 V8 r$ r7 F* d4 d* M7 c8 F设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
# [1 ?' c2 K" b" I2 @! W此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
0 C# r5 y7 q3 Z6 x% d
) Z4 |  W  O7 w现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
9 A6 r* `7 I; z) s6 n
' P  s, z5 X4 @1 \首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 + E: _6 r: K1 v4 C

9 O. h0 p( X. x至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
- _) j3 `1 q; K" t7 @) r
! p0 _. T9 R4 W: U7 ]* F) i- x' _! y5 C+ e) P
' z- \' y  p8 V

5 t4 R( x. ], J
, [* G0 d) j* V$ Y: H8 F+ ]
/ k, b6 B8 t  @
1 H$ a+ W1 e! Z" k4 Q0 V! l8 K. K1 N" ]' q. f* Z+ ]# Q$ w, c
其中  为所下注之金额。利用
+ W6 B/ x+ j. P. Z' g
% ?3 y5 K5 r. ^0 a* E: u. P$ t: Z2 W# T9 q
" A" f3 u$ b/ Y+ D

6 z+ l- {) `/ z0 H8 l1 Q& c, T
' v1 k2 x$ s. i0 D  Y! L3 L! f5 g- d0 S. K& [$ d( Q
$ r8 x5 p* d/ q- u) {! A# P

) U- G5 d9 x3 R可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
0 j( K- ]4 P! i4 y5 |1 f$ B" c+ U+ E
: m) w" W' C, s% I# R4 L# r9 l9 \5 E+ y+ R! N! R

7 j3 i! m1 K$ G) c' B+ L8 g6 I$ j+ H0 `: ~

0 x, R/ q$ y% A1 M( c+ `; p2 b# ^9 c8 J* f  `8 g5 A

( m4 }! f# d* |' e' S. j; ~/ y
9 ?$ f* z- N" V* y9 E因此可得在情况二, 时,
2 f* R% k# r+ `; D
( [6 m$ v5 ^, n0 ^6 u( O: M7 e3 M& |* L+ g$ b# N* i, i7 L6 h

  G6 c" w- T3 j
" W  M; ^6 o& f- r7 M! }3 h. _- R, h4 G8 G2 {1 Z$ l; D
9 n" q" h  I/ u& h! b; P7 n4 f( w: h

& F8 y) ]1 g( w- `  T: W7 M- q; x/ g2 H" I0 o* {
而在情况三, 时, . F  U8 g1 N0 S! u) E  y6 K

1 y, W; E! p& f9 @1 x- s# N( w! e. ], p
7 C6 |6 n* G2 [+ q: ^# s

1 [7 r& R- e2 v, o$ @5 v  R
5 c1 m& b+ K" o2 h2 U( x, v5 ~' p7 F( Z: p; Y

" q6 q0 O8 z- z. n: p$ l
# Q: X" Q, a8 t; ^3 x/ e1 K但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
" Q+ ?" E. m7 D# D2 A& @; n& l! [" p: {. e
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ! l! l; W  x1 u  z* E2 l% @* ?
5 c, w$ r- t: C6 p$ H- M) A" [
附录
% G  l1 ~6 P( W8 F" n3 M6 S3 [. Z" s: N# q: M1 I  M, E. p

8 v4 c6 F/ h" _4 \1 i  Y& d在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 6 I. f! G$ [& q+ B0 f( I' T
4 M$ {  U- R( }( Q7 P7 P6 r

, P- i' ]+ b* t* L$ Q5 z0 `* l! j4 I9 Q' f
5 h- A+ J6 I. D
2 ?- {  _0 W1 ^/ H8 ^# A( t7 q
: J  V' ]% S. j* z2 B  p5 B4 d
$ A2 `- H1 Y( U. _" a7 O

( g# Z8 x/ q) }6 b另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
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太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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