随机赛程的最佳策略

引言

, z) H: w! D* Z2 A在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
# J4 z2 S; i4 S; x
8 {  ~5 z0 x0 ~; A/ O9 z. w* X问题

+ b7 [. X; O, r* p, f3 \! N+ j
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
1 v/ q" v0 R$ t. l* D1 }
) m  m" k9 D/ |; i0 y+ h当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

. t/ d: n1 v+ k" U# A# L本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

- Z2 z9 e) F3 o( v) R: Y# l5 Y为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
2 M1 O$ X- z8 b% N

( q- }& F# v' X6 a) \  _9 S方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
) i- k* N1 t' o1 l方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
1 e) Q$ C) X0 G! c6 ?4 C2 e你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

- _2 y4 m% _& R8 o: y首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

' ?8 \2 V6 |/ w' @) X++,
4 n- H! I4 r# p0 e9 N+-++,-+++,
5 V" y6 R2 n. T4 M/ u8 s+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
6 t0 X$ l4 k5 Q2 ^. F在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



& W9 D2 j' D: d& K
- m4 Q. H) h9 @3 \; v+ A$ _0 w5 b+ E
& Z) n! c, ^: N2 z+ Y( m



. U& D( ~* P/ o3 ?6 e1 a
- A& }/ @3 q* S7 E% P现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
7 b6 v) ^4 P9 Q  Y6 F  Y- J/ V
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
0 l* f! ~, s+ }- q( W, i: b                                 
* O/ K8 ?5 J7 |" M, ,
" U7 F: n6 F5 H$ l" i$ H) X$ C& V                                                                                。
$ {5 ~& Y/ E5 l$ v3 z# e% ^
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
8 Q1 D& X  y/ A2 Y5 G6 s
8 \$ d2 j8 o' K; r0 j4 J
! W, B, X0 U8 ]7 M" b7 k& B
. Q. i! L: ^- A, k9 K

3 ?  O/ y) P8 D( j: ?
9 ]2 q8 |6 y8 W2 O# T, j

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
8 E: F' r' D  c7 Z& c1 N
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

% ~$ Z/ k* \7 W" o+ ]$ [这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

/ Y7 T2 t7 x, P5 w9 l现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: H8 o$ p( R; G. i' p( T% X
; _! Y- h5 q1 b( K
+ e& _2 p! Z) V9 V: |" T情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

9 s/ x3 Z: r6 I% A) `" ~% ?情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
( _' j! e( u! o- x
+ m* O8 F0 g4 X) I情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

0 O2 W7 r7 t9 [7 n现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
  S  n# D9 w- C6 g  n$ M
. \5 R: M, a; i4 t$ N由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

! c! J1 X& t6 G# F% P( D: Z
情况一：  
. e( e, P. Y. L6 c6 Q4 Y9 C假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
( x) Z( o' ^7 y0 ?) t$ R) S: d
: ?% k* `( D& E" f% l! U% g3 p; C% X



" E$ Y$ k1 T+ b, N
3 r% a: V  K. N4 R* y1 I/ w4 r这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; n* U, u/ p5 x4 ?; t2 @1 M, m
) H& @7 i# q! I$ r; s: W9 o情况二：  
6 r1 s% A! m+ |6 Q令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
8 G2 F) i7 s4 Z# C

, \/ ^/ d% b1 i: R0 F# G4 R3 u

" [; Y) b' Q; @+ F7 S$ F; G" p

: W  \8 l' |4 v* ]9 X# N这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

5 i" n) \: Q$ B
& j6 k8 G; o4 e) L

# Z* T# p5 n8 [2 {5 z' y

两边相加，并利用 、，得
+ e" j  H8 c  W

+ ?4 Y' L" t6 X2 S! {
' h  O5 x2 v" p
- t+ y! X7 l4 G/ u
4 h, S5 v2 J& L7 w
2 ~6 I+ ~, E' |8 r1 w, b( y! Y若取前 c 项相加，则得


" s1 I1 [* S: [8 O
6 j/ `- n: X: [+ A  m1 y# D


情况三：  
' o# B/ ]9 k# C& l- A- ~仿二之解法，可求得
! v% p2 ~7 x; P3 E6 |

( J% n; N, [& r) A5 c. y
3 b1 V) I& Z+ |) z( E) R

0 d! f7 o9 u5 e
+ m& C1 \+ h0 D) m9 K& P3 ?: n/ Q1 A
3 ~) B  I  e, B. C- m保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
3 }8 R: C, V6 b
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
4 V8 r$ r7 F* d4 d* M7 c8 F设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
# [1 ?' c2 K" b" I2 @! W此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
0 C# r5 y7 q3 Z6 x% d
) Z4 |  W  O7 w现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
9 A6 r* `7 I; z) s6 n
' P  s, z5 X4 @1 \首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

9 O. h0 p( X. x至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
- _) j3 `1 q; K" t7 @) r
! p0 _. T9 R4 W: U7 ]* F


5 t4 R( x. ], J
, [* G0 d) j* V$ Y: H8 F+ ]
/ k, b6 B8 t  @
1 H$ a+ W1 e! Z" k4 Q0 V! l8 K
其中  为所下注之金额。利用
+ W6 B/ x+ j. P. Z' g
% ?3 y5 K5 r. ^0 a


6 z+ l- {) `/ z0 H8 l1 Q& c, T
' v1 k2 x$ s. i0 D  Y! L


) U- G5 d9 x3 R可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
0 j( K- ]4 P! i4 y5 |1 f$ B" c+ U+ E
: m) w" W' C, s% I# R4 L

7 j3 i! m1 K$ G) c' B

0 x, R/ q$ y% A1 M( c+ `

( m4 }! f# d* |' e' S. j; ~/ y
9 ?$ f* z- N" V* y9 E因此可得在情况二， 时，
2 f* R% k# r+ `; D
( [6 m$ v5 ^, n0 ^6 u( O

  G6 c" w- T3 j
" W  M; ^6 o& f- r7 M! }3 h


& F8 y) ]1 g( w- `  T: W7 M
而在情况三， 时，

1 y, W; E! p& f


1 [7 r& R- e2 v, o$ @5 v  R
5 c1 m& b+ K" o2 h2 U( x, v

" q6 q0 O8 z- z. n: p$ l
# Q: X" Q, a8 t; ^3 x/ e1 K但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
" Q+ ?" E. m7 D
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
% G  l1 ~6 P( W8 F" n3 M6 S

8 v4 c6 F/ h" _4 \1 i  Y& d在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


, P- i' ]+ b* t* L





( g# Z8 x/ q) }6 b另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！