随机赛程的最佳策略

引言
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' q5 H& q& I1 ^/ j在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
  D, A$ _0 S- k+ ]& X; F; G2 Y
4 y* ~- n$ v. a" ]; f问题

8 }1 o8 }2 q+ }9 k
/ U. I" ^6 Z$ i) y; i! g5 Q有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
4 E0 ?. l2 N2 F' F9 T, D
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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7 w. ^4 Y$ `! U4 i) R, z$ F本文
5 [: ]0 R2 f5 m9 H
" V0 U6 H: V0 O) L
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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' }6 C9 m0 A# U) j* `& r5 `, z为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
( X! V7 l# M( ^, J, L& C
: U7 N$ {) P/ l( Z4 M; _
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
9 Q: A0 v, a, S方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
6 K- k. u% H) H  a& h6 Q: i* {方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

$ O' h/ o1 G2 _+ t3 R  ]首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

9 `/ }2 ]2 A7 i; C2 {++,
0 y2 L; o* q6 W6 E' g+-++,-+++,
0 l- d3 }- ~7 M; G$ w* n+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
6 v% r. f' F( v                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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  \, q# \* R- [4 p# I, v

( K% S: C1 r5 P7 e/ C( ]) P# v



3 d/ I* U( x0 V. g

* d" o3 ?8 U7 [3 ~
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

. v- Y5 G' u7 e& ^. K" T++,+-+,
% b* l" Y3 J& x* m! r- j-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
0 ~1 G  u. |/ |  g& s                                 
, ,
/ C: x! i8 c2 O; `: v0 b$ W                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

' \3 [% k' l# _8 {



( Q# p% z$ p* R- L& v* f0 f1 c) c


" e( G$ ~3 Z0 N, @8 d最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

( l: w, H  o! a! b  V, q. e现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
" M' x  S3 L# z$ E* B7 J
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
2 |) M) A& \- n0 O. r" t
" n3 U" }+ x. T* r现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

# \; \& ?/ |2 Q% y2 {2 ~
" F, X$ L2 C, e- ^; E6 f( K& u情况一：  
# m$ d" e+ [- @! A' p8 u! g此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% ~. ?" l1 B" M! L& T
情况二：  
7 a, j  ^1 a0 x+ r此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
- {& M* }. H+ W* w3 h% S: K
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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  f! f" e# e2 ?$ ^# |- T. o由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
- ^8 C& s& S/ I2 \2 Y* @, q
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

6 [8 o  T/ H+ g; H
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

1 ~! [7 a9 z1 O8 d3 B% r& ^/ L
3 X. p" x$ {7 j' q4 D8 E. q
9 \1 y) Z" g5 U


' e/ b8 w1 `; }- H2 H: V9 ?这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
" _8 E) Q' j6 M5 y. `" L& D- O
情况二：  
" t# P2 F, |6 r$ K& x4 t9 h令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
: S* D' U' L$ F7 a

2 @$ f$ y; M& S7 o  Q# ]6 N


1 \' c! {$ m0 p( ^
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

- g( d5 q, M  A( J6 v' k
5 k% d' w: x3 E- r$ F4 V

2 E7 e9 M2 x0 }/ v  Q# H+ R& |9 [5 m

6 l6 M+ f4 m: \+ D两边相加，并利用 、，得




+ f( u; I; T' u5 J: y
  f: u% D% A6 \; @! s
# n1 |& D- U; c. T! L) F. }" H若取前 c 项相加，则得





1 ^5 b& y  r/ P, r# T! \" j# |
2 f( z' i3 J0 V; ^* a0 T/ e5 L情况三：  
仿二之解法，可求得
7 _% s3 Q2 D. ^) p

9 `$ w* i/ Y3 @! h( D
$ P7 P( v# h0 e( D

$ l- I: Z5 y) n+ N1 t

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
% M+ s: x  E5 G9 }
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
) ?1 G3 ]$ ]# V. q" T) L
8 ?# r2 d+ y/ r0 K8 M, }/ O3 _+ n
9 y7 }1 E5 y8 ]9 e( U定理：
& {+ i. Y* B! _5 S, M, n" x设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
9 Y* D8 u0 m, y" G( ]此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
& A, ^# n' b" x$ C! `
3 {4 \1 @, P, g! V现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

! X3 m% a3 H* U# B首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
) }6 m3 c1 \5 v0 J

0 ^2 ~, X7 w9 b
" N3 U9 n5 Y* Q! s/ e% t; s" X
8 K$ t6 z- |6 I


: a3 X, T& W3 f4 A- O* a
其中  为所下注之金额。利用
6 x8 d* D7 j" U3 w
! R2 K; `* V/ c0 N3 V% Y



+ d4 D. L% C3 o( h2 x" y, h


3 g- ~# U2 K5 C" d& j可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
/ K. A" n( q. M! [: k8 k$ b
2 `: T/ a4 K" y
6 V, Q, E/ v' {
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- E" l5 m/ F, T# ^因此可得在情况二， 时，
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1 z/ Y; b! Z9 A: q; e, T$ H






2 v' e% d  s4 P* K: F( [; G5 J而在情况三， 时，

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" H4 I7 x* ^& u4 n


+ b% V3 o( `) {" k6 c! K

) N& s& B4 i# n- k但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

6 x# {8 n! j, O" I" g" X1 u' T至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
& Z' e/ W; u' P* a
0 P" X1 p/ s" C0 E( N) L1 l/ C
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
4 t5 w9 N' W/ z: k4 I% s







) |0 b; u4 Q7 B' H另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！