随机赛程的最佳策略

引言
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4 M0 [6 k" J4 {' P. @, V在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
- B  q  i6 k/ L( ^( L
0 j, g/ M: T" D) Q% O问题

* M* u2 n3 q, X& d" A" G" X  ?2 x
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
5 h6 y2 T+ k8 V. [% a0 O  P
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

! e6 q7 m6 O1 G+ L本文

; I8 [* B5 f& p* f* F0 t# U# Y
% k2 q/ `% l' b) b/ V5 `4 Z问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

# v7 Y8 y4 F- w: n& q为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
. V% ^8 W) {5 O方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* D$ @0 N* p: c# t! P8 p( o: H方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

: A3 \+ Y) V  S首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
% i  b% p/ b/ R  A; i3 e# R
++,
+-++,-+++,
2 \" \$ n# `! _4 y* I* c9 C+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 D0 q9 Y" H1 F2 |8 R9 |6 @/ T& R; H                                                                                                。
4 n; {2 v& W. u& ]+ [) f4 `在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
" j3 g+ Z0 A5 W' t5 k4 k: F


# U4 E" X3 [% t' C
' e+ x; R- Y' m0 k. b9 L# G% K
+ f9 |" }5 F1 A" ?) Z9 U

1 I2 M; v% I  d8 n2 I


+ D' i" ?, i, r% O5 n8 {% Z现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
) q% [5 }. \( e-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, _$ }  ~! d5 r, ,
( D  h# _3 T! e' H; g$ \5 y                                                                                。
( i' j  t/ w6 w( S! _
. u3 W' N& _/ ]" w3 z6 A仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
' H, `9 I: H. e/ u3 u3 d

- q" I0 q0 g: s$ I- w

9 D, ~5 E$ [& U& D% v" V5 W



2 w( t. n* ^- ^, y0 ^; o8 I最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

6 O( W! \3 d9 O, M* X$ R# w: a这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
4 ]/ s* ^+ V' E$ m7 S" g
2 D* L% A. F( w% x6 k* [  ?现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

; C2 S4 R7 I* g. h6 s; \
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

8 B  G6 a9 n$ D1 j2 G1 T% h情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
: C, r$ t% @5 K2 I1 C1 c# Q
0 s0 j% w- Q9 B1 S" y2 k+ ~3 g9 e现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
- ]" j7 x2 q9 p4 t  w
4 G2 T' b+ P, Z5 E7 o: j由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


. A9 |8 U# I- c6 q2 [情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


7 x: D3 C  P' e. v) R( i

9 `: R$ t  H% v/ U( I, Q

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

) A+ q9 Z3 j. s; p情况二：  
+ ^7 ?+ b+ L$ {9 R1 h/ z, t  g令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
5 r6 u9 q% N* T

+ `  k; d/ |  b8 B$ n) x* }


7 o; B7 h. f3 l% }
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ a3 I- @/ t' \) z利用p+q=1，上组方程式可改写为


: R" K( l3 G3 p5 p7 i7 q9 I& b
9 x; H2 U1 S1 B8 _
  C' Z0 m% d. N) l" s& i

两边相加，并利用 、，得





' M; [- }; {0 _1 J3 a3 |
. z6 D" h: N  }+ T# L! ]3 H* `若取前 c 项相加，则得



: x1 s  Y/ L7 }% B8 j6 R# d" J


; s! I. K- z6 y2 P* ^情况三：  
仿二之解法，可求得
0 K  w6 o; b6 ], {# r
8 ~% ~" @" q- Q) v- `


3 r) o+ ?) ]  Z3 Y

( t1 j2 J8 g: h" v, u) o! d( y$ W
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
6 H. |: ?1 _& C7 m4 G+ _& l
0 p% f& K$ R7 K1 a8 f" i. `0 K! \9 A首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

* N& S1 l  y# @* A
定理：
  F9 p) ^! B5 M. w& i设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
* k7 O# B3 n( H3 S此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

1 U( B- @+ w" U6 Z9 G( ^现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

/ A" T: B9 f# x" z3 Y4 `1 f% o至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




/ e2 E6 p' S; L" V1 l


  \: P% ~1 o0 Y3 ~
) A* o: Z( V! J( |6 }6 V7 o' H0 t其中  为所下注之金额。利用

( V- U8 R8 @7 }) D7 x2 n
1 V/ g4 q$ C3 V' t, S, v


6 l2 X; L0 v6 S0 l# O7 A4 b5 A


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

7 @. i7 O. U$ i3 z
, i9 }+ x* y8 l" S3 I! j

/ k: j! D4 H! x+ X: y$ R
. W  J7 @6 L, ?


因此可得在情况二， 时，


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# k+ P7 x9 ^2 C0 @4 Y( B
5 ^; i, ~$ b' k" T
而在情况三， 时，
6 x2 d+ q2 w$ w1 N  |& z


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2 {: u" Z4 }2 g
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6 n1 U$ a5 w' z) \, R
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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) `" P8 g8 x1 r( t6 Z' A; J8 p至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

5 I$ F3 p; t8 D; b8 P7 b
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！