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引言
  a3 B6 v' I- M: q2 J
4 M0 [6 k" J4 {' P. @, V在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
- B  q  i6 k/ L( ^( L
0 j, g/ M: T" D) Q% O问题 ! l% h$ m$ {( h

* M* u2 n3 q, X& d" A" G" X  ?2 x1 H; F) V9 Q5 j- R- Y
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
5 h6 y2 T+ k8 V. [% a0 O  P* p6 v5 V3 h; r% d! i- `
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 * [3 p9 S" H$ R, \4 p. b

! e6 q7 m6 O1 G+ L本文   z1 h. w3 T8 [# l4 Q

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% k2 q/ `% l' b) b/ V5 `4 Z问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 $ B& _0 {% a) d; ]3 z

# v7 Y8 y4 F- w: n& q为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 3 T) ^& f2 m- K$ A
% n. t. |$ {+ S4 B& l
. m9 r. `. R1 T' s
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
. V% ^8 W) {5 O方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
* D$ @0 N* p: c# t! P8 p( o: H方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 8 c3 y5 w' z, Y0 V/ F
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 / v* |8 a8 a: D9 {% G

: A3 \+ Y) V  S首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
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+-++,-+++,
2 \" \$ n# `! _4 y* I* c9 C+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 D0 q9 Y" H1 F2 |8 R9 |6 @/ T& R; H                                                                                                。
4 n; {2 v& W. u& ]+ [) f4 `在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
" j3 g+ Z0 A5 W' t5 k4 k: F' _6 V% `0 P2 C9 v/ c0 K
; E9 {$ _7 m$ Q- n9 M* w1 B

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, i$ q* K+ z" t+ Q9 o) a

+ D' i" ?, i, r% O5 n8 {% Z现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 ( d+ ?- d( c  l! E/ f" }. a
4 t! g0 k- o0 ~! @+ o8 `
++,+-+,
) q% [5 }. \( e-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) 8 e6 u9 }% j% a
-+-+++,-+-++-+, & B* y% |- `8 C  [  ]% C
                                 
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( D  h# _3 T! e' H; g$ \5 y                                                                                。
( i' j  t/ w6 w( S! _
. u3 W' N& _/ ]" w3 z6 A仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
' H, `9 I: H. e/ u3 u3 d2 e, `1 p+ q# i6 k- B

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% L1 F8 w+ t, W/ W8 A) c

2 w( t. n* ^- ^, y0 ^; o8 I最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 , S% f+ v, L* H4 O# u/ D7 R& @" K
4 A& l9 @1 X6 H( Z/ q4 K
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 , Z, R' E. N  V! m( ~7 P( \  ]

6 O( W! \3 d9 O, M* X$ R# w: a这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
4 ]/ s* ^+ V' E$ m7 S" g
2 D* L% A. F( w% x6 k* [  ?现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 5 w$ ]4 d2 }. ^# p

; C2 S4 R7 I* g. h6 s; \" Z4 R. e2 Y) B, j/ f$ B9 z
情况一:  1 w6 w. }& P2 B' |
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 % V% `0 r* t, B, ^: `

8 B  G6 a9 n$ D1 j2 G1 T% h情况二:  ' w+ E# R7 g8 K, F/ X: a
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 & M) ?1 L% `7 C) P0 D; B, t
1 _( h3 O1 m* k8 Q
情况三: - z% r9 l: N& H5 H8 N
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
: C, r$ t% @5 K2 I1 C1 c# Q
0 s0 j% w- Q9 B1 S" y2 k+ ~3 g9 e现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
- ]" j7 x2 q9 p4 t  w
4 G2 T' b+ P, Z5 E7 o: j由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 ; E3 v! R- K1 a. r+ H5 L
. A$ Q, M/ G0 c' D; l
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 1 R" ^+ O  v8 H! _; l5 h1 N
& z$ U: R- H" F1 ?0 x  l; J

. A9 |8 U# I- c6 q2 [情况一:  5 `, {2 Z; x% W& Q
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 & t" p- ]% i) A( O; X
3 M" H& r! Z! c; V8 Y0 \& X0 s

7 x: D3 C  P' e. v) R( i( y# j) `% \4 J* L

9 `: R$ t  H% v/ U( I, Q1 A9 q' j7 k9 D- b6 Z
3 k/ G; S9 g  }  q) O' D
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 # v; H! v0 `& R! l

) A+ q9 Z3 j. s; p情况二:  
+ ^7 ?+ b+ L$ {9 R1 h/ z, t  g令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
5 r6 u9 q% N* T, B+ `+ k% `) Q8 J6 `8 H

+ `  k; d/ |  b8 B$ n) x* }# |! w4 }" @, l
( l/ l1 X/ k: F, O2 A# G7 \

7 o; B7 h. f3 l% }# A6 u! c8 E- B, u/ t
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
/ a3 I- @/ t' \) z利用p+q=1,上组方程式可改写为 ! I/ X# {, X" z6 K6 m/ O7 ?/ M
3 A) o6 D3 I# D5 q4 r5 ]9 z

: R" K( l3 G3 p5 p7 i7 q9 I& b
9 x; H2 U1 S1 B8 _
  C' Z0 m% d. N) l" s& i# Z' n3 \: v0 Z
/ _: d3 k- F$ _3 W: Q
两边相加,并利用 、,得   T* v7 R: f* T* J
4 K+ {$ x# D- H9 q* Y9 J) D+ i
. i' p( ?& K: V( k: g
! Q" q" }9 n9 {! l
8 w- d2 \7 ]8 U2 d; i- R) x

' M; [- }; {0 _1 J3 a3 |
. z6 D" h: N  }+ T# L! ]3 H* `若取前 c 项相加,则得 * p0 h  L) @4 V+ d; ^& ?; @
* e0 l4 o. E0 \3 ~" v3 b8 Z, E- c# B
( d. O$ p* t! \2 i' }! v" M6 @, d

: x1 s  Y/ L7 }% B8 j6 R# d" J# |7 I- x) p% a% G0 j
$ S, c0 i) g# j& _2 y# Q, _5 U

; s! I. K- z6 y2 P* ^情况三:  9 U" z$ \. n8 _& n$ A* A
仿二之解法,可求得
0 K  w6 o; b6 ], {# r
8 ~% ~" @" q- Q) v- `) h7 W% J  C2 A
" Y, Q# b# m% e0 n* B: g. T

3 r) o+ ?) ]  Z3 Y% P5 Y- I4 ?0 i: ?6 a

( t1 j2 J8 g: h" v, u) o! d( y$ W" W5 Q9 M+ d9 T. U5 Q
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
6 H. |: ?1 _& C7 m4 G+ _& l
0 p% f& K$ R7 K1 a8 f" i. `0 K! \9 A首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。   o- C- R# w  l

* N& S1 l  y# @* A# T5 \% s. N/ m9 x, F% q
定理:
  F9 p) ^! B5 M. w& i设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
* k7 O# B3 n( H3 S此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 $ q( a" B. |; X" a

1 U( B- @+ w" U6 Z9 G( ^现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 3 b- o; R1 f0 S9 u9 J
8 q; Y( l+ o% T" p9 c
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 ) G$ }+ }5 c" z3 W, _4 x! R

/ A" T: B9 f# x" z3 Y4 `1 f% o至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 4 [/ U9 J9 l  ^6 `8 V0 ?5 z
  y& P/ e6 c1 b6 Q
( u% z: a+ r. l
/ m& Y! n/ \- S

/ e2 E6 p' S; L" V1 l7 M% A" o, I9 w8 Y9 C6 u/ D; i
+ x. v3 k. r5 D$ P" f, G3 i/ y

  \: P% ~1 o0 Y3 ~
) A* o: Z( V! J( |6 }6 V7 o' H0 t其中  为所下注之金额。利用 7 ]! E/ E" a+ o0 @0 s- C% _

( V- U8 R8 @7 }) D7 x2 n
1 V/ g4 q$ C3 V' t, S, v0 B% }/ J+ f- ]- q  r6 L/ U
( ^& H1 F1 Y- T8 V/ ]8 p" w6 [

6 l2 X; L0 v6 S0 l# O7 A4 b5 A; K9 V- r$ f6 A8 D
7 T: x: @/ ^% C" x" Y2 s
8 k1 A: e8 t9 O  I3 m6 X$ G
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 ! E" ~# b8 J3 C& \, I/ V) E

7 @. i7 O. U$ i3 z
, i9 }+ x* y8 l" S3 I! j4 R$ u" K1 f) {8 z6 H, e

/ k: j! D4 H! x+ X: y$ R
. W  J7 @6 L, ?. |4 o5 N) o# L/ A: f% h5 O' v
4 \; m+ R2 O! P; q6 }+ z
- b& P- l& C  @2 v7 Q$ w
因此可得在情况二, 时, 9 N+ w3 h/ |5 |: I, j3 L3 O
$ u6 ]( n; i# P4 [+ o: F+ p

; h2 \6 m! q  D: f0 J1 N! B  Q! B' n! ]
5 k9 ~) }0 Z- N) R+ \$ J9 G: s' Q9 D" [

; j& o0 z/ f3 r. O2 n. B
# k+ P7 x9 ^2 C0 @4 Y( B
5 ^; i, ~$ b' k" T* a1 b7 H& q( a) `; ]
而在情况三, 时,
6 x2 d+ q2 w$ w1 N  |& z' x+ m2 Z( x  l" `# O
/ g$ ^" c; @- c; m

! I5 l" F7 I- Y4 L1 b" @" n- W; m# R! ?

2 {: u" Z4 }2 g
( _4 g" n- i0 K9 o6 h
6 n1 U$ a5 w' z) \, R" n9 i7 D" F7 V+ Q7 Z& {3 n
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
, X+ j4 F8 O2 d6 d) \' M: z* S
) `" P8 g8 x1 r( t6 Z' A; J8 p至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ' s# y+ Z$ V8 B$ S
5 F8 @/ h" E6 A$ F& d- o, E* M
附录 . G5 Q+ Q3 [. d+ _8 k+ d, E+ E

5 I$ F3 p; t8 D; b8 P7 b+ R$ s6 w$ B! h$ d
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 . S9 o4 O' \4 P* |8 M8 M' N
# n( w4 P3 X0 G9 c
, j. h! L6 S' q* n

0 T; O3 I7 R! J0 {: Q
% a% }3 \( k* h3 |, G: G  O' q8 ]% G- z

" Y0 G0 _" F1 Q- \; N6 y$ G. u# l# g" v1 j
2 G* R; c6 B7 p4 D( W. v
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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