随机赛程的最佳策略

引言

/ B; u4 x# ]8 c: L在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

6 X1 p1 q  S# {1 \' J* _7 i* b问题

' r$ D$ \. [/ p2 T  b7 T+ e
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

, I: [4 v1 M- q2 ]9 v- B当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
9 e: ^& E" M/ O/ F; r" {& |9 N
本文

0 H$ k4 \- i) O1 r  q
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

* Z& ?# I- i2 n2 d3 ]# X为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
: V/ S, v1 k* q7 r) z$ \: V方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
3 _/ e! ]! Q. W- w& u3 ?
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
4 T; Z1 _9 ^6 p& B) R7 W- J- `3 e1 O3 [+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
/ S  V: M1 c$ W/ {: j8 H" t                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
% ~' H2 P* Y5 |! R; T4 E

3 y5 U* f1 d) o( I, A. ~$ A6 R

: A3 ?, ?5 N" G4 O+ E% E
, Q' l! k1 {4 j8 `. k+ }


' y/ N" B" f8 X) T" e
  j" ?; {( O: v
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
! O0 Q4 f- m% K( O7 c. }
7 {2 c6 ?  y# o& U% V++,+-+,
6 J! T/ {! N/ X9 P) F4 L; _8 J-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
7 W' p: s& c/ [% z-+-+++,-+-++-+,
! l% F" n) j& n  h; _                                 
, ,
; v# K* d* Z& k6 C$ |                                                                                。
8 m: }6 b& h, a) E
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
2 Z0 j/ ~% `  Z' R

8 V' b8 o4 B7 l8 r# Y/ ^* w- B- K
) o$ @$ P. K2 f3 h


6 t- A/ j; G# {( [' a4 J
4 a2 u: I% }: c" {2 y
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
" r9 ~2 f* ^' }1 N& O$ A6 A& n, X
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
% U' I( V7 [. T. G# N/ z/ }! e4 r7 F
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

- C. W  ^8 b: U0 q* J. T6 g) o
4 q: Y: n4 |9 C4 c7 \2 s* H( ~. P情况一：  
  H- D  X/ R+ |% j/ ~% K此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
& _. a: ]2 d  f6 W7 {; ~5 Q
* Q+ @0 y: \' D5 v. h情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

0 o2 t9 E: c: [0 i7 |8 G( a8 c% _情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

7 Q: S. T! u" r% Q由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
0 d) O: D( q! G4 A" j7 s. ?
! Z  D' B6 K1 F  I如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
" o! u# c, U* @. e- v$ o9 a

; f" t) E( M3 h/ {) u7 [情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
; ?% q* b% Y7 ^



3 S/ N' k0 O* v0 Y/ T, @

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

4 v, Z( H# ~, \4 h8 N# W情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
* m# V' e- K! P- s$ M! j/ P, H

, u# Z/ m* f! X+ b0 n, y. s
2 m1 h+ f9 X4 x1 W. {( l4 E


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
7 h; W( }. l) S3 U( l/ I. \6 y


: o- `1 o: o) J


5 A+ @& H. ^1 \" |# o两边相加，并利用 、，得



' [* v# [5 p, n! C/ Q( W
& }) w' |+ c7 m. w; i

* p6 {- J* ]! [* B9 I& t若取前 c 项相加，则得
# [- n! D! a5 c/ T( I7 }( q


2 \% _! I" C6 H) M7 l9 y2 v


6 x% [% L  x7 p. i5 K情况三：  
仿二之解法，可求得

/ l% Z% ]* N* H# t3 }$ n
% {  H3 o% x$ N" X

, o7 L3 @, c# F5 n/ p
& w/ s% t" y  k0 q
$ I* Q0 L: t( ]3 m- C
: P) y5 r" N7 f* k. ^保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
" q" ]: X) X4 ?, _
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
; p# K! _- l# H" s0 o" A
  B" M- Q8 ]2 N) z0 h$ P
4 h- O) l) N0 |: \定理：
9 D  w( ?0 m. ]* ~) l: g( W: [设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
: j& N$ A( S$ N0 ^# o9 X  l, @9 t
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
* Z/ @0 `! b, n# _4 U2 [
7 N; I; f& D# F6 M- B5 P% b3 v2 P% _首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

( I- I5 v% r, L至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

+ R$ D1 ?3 W3 X5 M; a






其中  为所下注之金额。利用


' Y+ A% H( Z* {. t( `0 l





7 W# s& r3 ?( |% g可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



. ^2 o7 D; T% \% X4 w
  S* ~# b, ~- i$ S5 m2 x. [2 n
3 q6 `. \6 ]4 {: P( N! S4 S& ?+ W
3 I7 N4 k: u' M# _! C& V8 Y
/ o' B- t9 f7 p! G
因此可得在情况二， 时，
+ t0 k  e1 u7 V9 t5 Y
* Q& C: e* P7 {, l8 M; V
) W# ?; B/ U5 G1 a! L& X" A
/ @4 l& W' W- V% T7 e
  M  F  ]3 q& V3 C9 E



$ T! \% {5 x) Q. l; r$ G9 G而在情况三， 时，

' I$ O. y& C* ]4 c
+ m" Q9 n0 C. t% }+ u% f: \
- {) i" B7 u4 q+ l
1 C# C9 n3 K7 o3 C
9 c: }) l+ v; g; d- N

6 n  g4 Y# c9 f
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
; J2 Q4 e; d: U; w
4 K) C1 @4 X) ^3 `附录

  E# @9 n- Z, x
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
# e' V6 e' s" H) N9 ~' y, e





& Z$ ?9 d8 t+ }
9 h) Y, R3 ]4 i7 x4 ?4 }
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！