随机赛程的最佳策略

引言

: x4 f8 K2 u- ~" r5 q7 Y在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

# `, C, D: f1 ?9 {问题

( j* W" m$ K; _1 h2 t; g% j1 t
% P: G- }& a1 B" U- v6 z' e9 B有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
2 o3 w5 g, f5 {6 S' c" ]6 |1 J& i* ^
: T4 q; F0 g% \& ~" q1 h当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
- Q- Y! P1 H. v! k. ?2 y) \0 U' U

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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9 ?( K( t5 c* |为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
6 B2 h5 \7 L5 ~8 E- m, t

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
6 O' Q$ Z8 g- p6 E方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
, c, [7 Z; [( ^! F方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
" h! S5 u% f4 d5 Y0 x你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

0 S* D6 O2 t  |# \+ ^1 y首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
' P2 L% Z1 J8 Y5 _( B
  ]0 i/ P2 n; g8 u" X# T++,
: T2 [5 w- ^$ w' X* u2 p+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
7 o3 B2 O7 ]0 i4 `- r5 `! V8 H9 P                                                                                                。
+ u9 c) d& f% W7 v4 i; Q- ^9 N& I在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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. P$ p/ R: u) E( e( ^
. f+ F5 i) X) @6 x. ]( ?
% ^9 t* C, `/ @: [. v( ^- f

! v( ^- M5 ?8 ^* h. d4 l



现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
8 }7 n. l# T# C8 o
++,+-+,
! H/ P' g' ]+ M; V-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
' ]; O! J" u, u2 U% `
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

1 N+ T, f7 t; E; ^2 ?+ S$ Z: A
1 `  y( n7 ?; W. G* v
8 F9 X# i' c$ d4 W/ R! ]& c- |


* a7 V- P2 M- A
3 H( z* S. U6 o/ G4 f
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
8 J" r" J9 E' V/ R/ Z$ ^
/ h4 a" l, X, q4 k# D/ _现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
2 H: s0 H9 n0 {% `  w! D
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
9 c6 G. Z* r0 h* `, S- j3 y7 [! U3 Z
/ X( i1 d. }4 _; W; r5 W现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

. k. Z5 y( t9 N9 p) z
1 T8 F, {( f( {& A" f$ ]6 |) t情况一：  
9 S8 W( J' G' U+ F: W) `4 s! C此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

7 ~2 h4 Y& b3 a& d5 F情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
) E) W! y1 F5 ~
- r. g# ~0 B2 M4 }, u情况三：
& P/ Z8 Q3 O3 j' P此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
' s) ?6 s% }1 M# [5 Y& j
. g! ]' v  q, k1 O现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

/ J: T; z* q2 x- {* w" N由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
' j( M& s: y4 ~
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


4 |' r" Y  l' Y2 G. @情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

% z+ b& r, Y  }  P& \



+ F9 M7 t& f' A2 q8 A
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 S0 R% x% K6 t- w- Q( w; g
  C: P( d4 o2 ~! ^0 N+ K/ N/ g3 n情况二：  
+ }8 Z  x5 N1 Z* j令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

, ^8 `. L% x% R; D' D
4 p5 @5 S! _$ l8 M  s  v
( u& d7 w. w, i8 j, {


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
4 z7 p* q$ ~0 t0 _' B+ E利用p+q=1，上组方程式可改写为
% Y0 }3 e" X4 M* l; e: ?# N0 P
* _3 }' {1 U( A- Z5 i7 Y
5 j4 m0 l1 H( x. u5 n4 ~+ ^
4 E5 Z0 `  i0 g
+ p% l: m, T3 w3 L* j$ E

2 }. `1 h, }! [6 K6 c) y& r8 {两边相加，并利用 、，得
2 O6 {5 B* j: ]1 M$ s' I
0 d* a" h5 ?& c  x

3 z; C. x5 Z; K/ i# v
% }* j% Z2 u1 K0 A1 I* X

若取前 c 项相加，则得

. T. P. d3 X" @: }4 v

3 ^: i: ?; Z8 s% M. b6 k% p

# E# J. z+ c8 X
6 |, r: Z* i1 M情况三：  
仿二之解法，可求得



! L1 V% x, j% m# N' a8 a: D1 x


% I0 V* Z7 y% F7 u
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

) ]) D" J  A( x" |2 m5 \% b! b
定理：
1 n- R2 |! W2 N! |- ?. F设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
6 ?4 b, ]7 h  X
+ F, z2 C- ]5 c; Y, s% z首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
- m" ~. s- i  c4 O





2 [( [* t/ J* C- H- b/ R
3 N0 q5 \9 G- t) w
, d, D1 }1 Q) a) A8 N* ?其中  为所下注之金额。利用


: N4 ^  ^7 E- ?3 O2 r" C" W. h: k

3 q0 {7 k5 u) @
8 E2 a* Z, d( [( H! Y, x; \1 d6 v

$ Z1 G" ^3 L7 G. w% l1 \
6 I; o: e1 E6 \可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
* d. p" e$ `+ @# a

' y& ]* L& {, p4 ]3 b8 Z




( b6 {4 ~% I7 M, J
& K" B& v( l% T7 D+ n( X因此可得在情况二， 时，
5 [8 {6 @# k7 H+ t; d2 P
) i2 N9 R% }- F9 N8 F$ @* l* m

9 j) M3 C/ h" T9 w" u$ M; w( \




- o; U; \7 m! C! B( y而在情况三， 时，

6 \; y% T, E8 h



) t5 A; \7 @- u/ j8 z9 ^; g1 v
1 ^9 R' S+ p* j6 K1 j8 c! \
' q1 l9 e& w6 V5 Q5 c: W
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
/ t: p+ z/ N6 D9 i6 g
附录

5 d6 D* x* m0 x# I
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
) B+ V. ?' {9 m  C% D) ~1 _5 h. [
8 \0 j; M7 r+ @




! M! k, T% ~5 c) F! Z/ o/ B
8 Y5 ]% T' f5 H$ n" \- b
. G  ^, x$ ]* D另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！