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引言
( ?& P% y3 [: `; |
1 }4 p- i7 y1 g6 o在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
, O( C: c2 n+ ^. w+ g- u
8 v* u# `6 i5 Q8 @9 c4 [$ A问题 6 @6 z1 P2 h* |' {4 `

" y$ K1 S. _/ p* h, g9 `
) g6 x0 V, ?! t有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 5 \  z* q' A3 E; k$ ?6 Q  D
: K! x( _7 l8 }, v8 Z. f- f! u
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
" Y4 s5 d8 t. t! o! U$ ?
" _9 T( G) e0 u* ?本文
0 S2 |7 ]5 H7 j. P
) y& D" S, q4 j: k- H" S  C% Q( I8 u8 ]! M; L5 ]5 m
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 7 y' I* p* o  a5 _7 {
2 Z8 M9 |; f# m- m" w, M: Z
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
) O0 k9 }& o# x2 s' ?6 u$ {+ y! J3 S$ l
  o. o. q/ w. G  L. T! T
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) + W" A3 f' f, M* H4 ~& z& `
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) 7 E. p: A" j% r2 B$ ?% v; r0 G" q7 }1 i
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
, D$ H( ~* t! P" `( l! m- l你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
" \2 J' ]- N5 \* w
! I. H/ y4 x5 C' }首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 ' I7 \1 L3 I  |1 A$ g5 l* K
3 D" V2 `/ `+ h% s+ y' [5 p
++,
' w& C& {6 X% [+ J" W5 M$ [+-++,-+++, ! ?3 a1 {6 @) i6 G9 U, P
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
. @& j' M' M% F1 i: y# H                                                                                                。
+ R0 d9 w+ q0 `/ ~6 B在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 8 S! m4 d! x. X( M. w
: m; X, d& e: b

. f( E8 K% @7 N3 O, X9 Z4 \! k  n% ~( \5 L4 Y0 |

$ {$ j, b3 Q+ u8 f, u
" P; y# F3 V9 N  t
1 z0 C) N( j$ F! g
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$ G2 _  K( f5 }8 E8 D+ p3 S0 u: l
( U7 X6 z( o# W, ]; S
+ o+ b" d# v4 p6 F8 O# m1 \现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
# }+ {+ V" o; C2 ~% F# g3 y9 Z' _4 T& e. }3 B
++,+-+, " W4 D  Y- G& E2 m  r" u
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
; }6 L) G7 k' x2 T5 m( D( \-+-+++,-+-++-+, / v+ |1 {; ~  O& O
                                 " k7 P7 i! H1 t* U. ?% {" R
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0 m1 N; m: ^5 G2 N4 J                                                                                。
$ l: ~+ n& U( k! M  Z7 M/ q. {# V( I8 t! a& P5 ~+ h) B! N
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 0 ?: ?' o. j. A
: D6 {* q/ i8 Q2 W& g# `% l0 g7 N

( B) ?+ |+ ]. z  H* R& G
# D- |6 j: G1 i; m; ~: ]' Y
, }+ Z; N3 x9 C. g+ R( k# x1 ^& K
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* Z! ~1 b5 b. U% Y
! s8 e  M( j- R( T  p& m1 ?
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 # L; i& [/ c" y* @
8 p5 @8 u% E  V9 x( D; s* x1 y
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 2 [& S: e2 ?0 h' @! @2 i

0 y3 h% N* a5 r9 g: O( i这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
8 m5 O9 }  ^( _2 a) g) ^7 T- H
* `: h3 |, P/ o7 `$ a5 y现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 2 n7 K9 Z8 ]4 M& K1 c

/ J# P: @  ]: r& p: `% [; F4 T( w! u# {
情况一:  
& R8 ~5 D* D  {7 b& u  g4 T此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
% E- t, W1 j9 H; E7 x5 T3 \+ F) C! L
情况二:  
0 v4 d! A6 d+ Q" U( F此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
8 y( u: f6 L! P0 P1 S& s( r, J
* W  y  |! O5 W% D( S! _8 ?0 E- ]情况三: + q% I- D# Y  P, X2 s6 [: N4 H
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 . H" K7 p3 c+ V, a0 |$ c

1 r+ H8 E  P/ D+ }' P/ r现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 % X* k2 Z* J* O& H" D
7 D5 S+ L! X3 f! M7 f3 [
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
; w/ q% k: _+ g8 ?& j, U8 Z+ ~/ B, r9 ^. O3 C5 j) a
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
; u9 I: U3 l- C2 d9 `; K' v7 s

: x' Q. a- v+ M4 D7 M情况一:  + E" z" a! j: K* e$ g/ C
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此   U0 Q; k6 f* f6 ^# G; ?, Q4 |8 J

) i' ]7 J; m  T  V- W5 M2 G+ d  [7 v# N+ @/ O( t

+ D* e9 ?: h+ D" p( W  G, J) ?4 `1 K  p, [, y. u9 B- ?, D! y9 _% J3 k7 w& Y4 f
1 m1 Q+ W3 K; y7 _1 l

- q* E0 d( e9 e这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 ; y4 m) T( ]9 t0 ~
* N0 ^: H' X. F) I( I$ p0 V9 z
情况二:  
! |* c/ _, w0 K8 b令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
% O# T8 @. P6 _5 i3 R: b" k
- j/ \$ N3 w$ X2 K+ ^* [9 m0 N
4 c' n2 g0 R7 a" \2 L' t5 M# D, t# K/ @# i" b. f* N
; v3 J  ]* A) P+ |- P* |8 c

; B7 [3 R3 K3 T, n7 T" n$ N5 {( j( Q3 E0 v( u5 s9 U! Q
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
9 Z$ D" @5 W( v" t/ B利用p+q=1,上组方程式可改写为
# z+ G- j5 I# o( p1 J6 p: S, o" S3 U/ N, R9 G. A

$ o1 J+ ~$ X: G5 e( K. ~0 E6 O. Y
2 |* x) l7 f" f! s0 O- H: M3 x1 G1 [. v( T6 W7 O, X8 r( Y' \

6 a3 T" o" W( l) ~/ C% J# {+ q( M2 D. M/ U9 z
两边相加,并利用 、,得
* `, S7 S0 [& f$ E8 B0 U' m+ g9 ~( e0 f. t, p( G) F

, F7 J5 E- {- d* H6 I4 r; k
: g4 S# I; b/ n) M4 M  [8 B) r4 K$ a/ Z& m+ @3 K
3 L  V- k) N& H. e7 @
1 p5 u$ b! @( _% X
若取前 c 项相加,则得 - o" \- j' a! A* l. f8 i
# H9 q8 S, B$ v- j

+ k: s, p8 k) G
1 e+ T3 Z4 u5 F3 O' q+ \7 k: o" k" f
9 _0 \8 O- ]1 X7 H
  W' ^. q( m0 Z
情况三:  
+ _) Q- g3 `4 }- L  U仿二之解法,可求得
$ Y( B8 T% C  i& G2 i7 M; Z9 }+ d+ T8 I# {) \
6 F7 @) i$ i3 T

& s+ R& a3 x9 o3 ?5 d
" ~* Z  }. t+ X$ S7 A" D, o% R' P: h2 F, c( g/ r: u; [& ]6 o% h$ [
5 C3 D" R5 p' F$ l. `

" W% [4 O% h/ [) D/ Z6 v( \5 Q保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
2 v* m+ x% W$ ]9 Q% F: G8 x1 V/ s! g3 S1 t
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 8 s/ k9 F1 b9 p; K# \' N0 A( @

. x$ \3 J" i) Q$ n$ c: H( X
1 J: q/ h6 p: l' m+ b7 T: G定理: , I7 u4 P+ J3 \9 @
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
, Z4 T/ _; O* _" n+ x8 W此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
, E. a2 s, a. g- @( s, Q% Q- U" n% }3 E( ]. y5 o
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" J. V  S# ]9 G* x& r% M! G! I+ G# l7 o1 C1 P9 B' O6 p
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
& V! {5 C3 B9 ^% B. [" z  y/ W  o0 g
4 ]: r0 I# x5 V: @% p至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 1 R, T/ I( u5 q0 g  X2 m' ?. W
6 B0 a4 V, c  Y2 X6 w
$ q; H& Z& z- c# g- o

" }9 r7 q* N9 {, Y- K2 G, W% m  t5 l' g; D

' W9 b/ a( W: g5 e/ ^7 C8 S3 @9 v. s; {# _; r
6 N. Y7 O. T( L# W

5 `  V* `9 ], B" m: m其中  为所下注之金额。利用
% ~" ?9 K5 t$ G. }
4 p" Y  X; t: @0 P, O! c+ a4 w* X( A0 T* S* B! \0 z$ X( ]

% c  \! [6 `/ b; D& d3 D5 I
: m3 ^# m2 c" M: I9 J* T
4 C8 e1 y: i1 S
6 J/ T% J) e! C. N% Q* R* B8 ^; o, \
7 x/ V) v  e, \" F0 g, B5 n; \+ F$ I0 |  j4 r: }4 [- R3 A0 L0 Q% H
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
0 e3 X' _' S/ ~" ^1 ?# C. t/ w9 O- i& [7 V3 L: D
  R1 _4 }- f. _4 j
$ c3 {9 E+ e$ k- C' V

" q9 h2 v' ^& I% P* B/ ~5 P4 L) Q* e4 D0 x5 b8 N. T

* e0 T0 ?( M& i) |' ^! u$ O. b% Q0 e) `% M$ J7 b2 J
% H* a/ m1 w# e  n* k
因此可得在情况二, 时,
( u  T+ F# ^0 b4 |9 ~: [; K* H1 I8 t: K) L# v8 ?- F! j- ~; c9 G# l9 s* d: I

# F1 q  l8 v0 Q1 ?) f$ @& i1 W" d' k7 l, k1 y1 l# t
2 j' B+ U  a, A/ \( b3 z4 P
* R( N  F& I( _' K* ?
4 F3 q& Y3 G$ b- M
  u# j4 f8 p& A! M/ h

, A+ A7 T8 C# h8 D而在情况三, 时, + a1 O6 R& s; g7 l- t! @7 ^' N6 l" U

5 j) N. E# v+ h; e/ y, k: x( t1 c6 N4 L1 X+ u# B2 v
6 i. q! ?! a' h5 q: H% d/ U

" p9 O) s1 E( l' i  Q  d) h  E' F; p6 K
, T. S2 V4 V, H# b# E1 _" y& c

* `; \, m2 j* ]6 ?& d' `% m& f& h! z: I5 I' P, J
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
4 U- T5 X$ \5 ]/ W; O# ?- I0 l5 n. H' Y% V
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
; ]2 n4 G0 t( K6 G1 E2 P. a+ ?1 p! W
附录
7 X1 i  R8 O+ B$ v. G9 V5 ?& ?
! l3 y1 P9 B' c$ T: P5 P- }
$ y) u$ M7 W) J8 O+ I* l) ~在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
' L" R: Q8 d& U: C# j6 l3 {% L+ p  k

4 x- O, w& K0 Z7 A4 {- ?4 U/ `# r& P, C3 M6 G" J  I" ]8 u

7 n0 g, K4 O% J8 V4 U
9 `* X( X9 I; e3 [6 C! l  C) d/ {

; ?3 f% H% I+ a4 a
0 d; s7 Y9 K2 T; w2 ]0 }另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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