随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

) p! |1 k0 a' g0 i" s- P6 F问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

5 b& u, q4 A9 X* s! |& @) Z0 q为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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1 J4 a+ y  j3 W6 w5 P# N, }( c1 D方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
/ X) L) u2 R4 Q  [0 y! r( }. J+ v方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
/ B# |  W2 p, N! g- p- C3 Z你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

& v) l# `7 v! X8 j, T首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
" T* D4 q/ n  j6 g! [: E0 v
++,
+-++,-+++,
% `" z- i8 x( j) f5 B3 D/ ]+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
4 o) B, e( ~' T3 k1 a在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
* j. Z2 _( X' q& n! A2 U8 b

4 a  s+ e% W5 i: Q4 m7 ?
" m$ W5 O$ }6 g# i" ]( V- v, U



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6 A5 b4 `0 r+ O$ ?
" s% M/ S0 Y+ @+ b$ c$ w  B9 @现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
& o. A6 i2 T0 s" |0 B-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
' a( Q5 F2 d/ {# E                                 
, ,
* h7 e! e* x3 c, O                                                                                。

2 L( j% T8 l$ d1 o$ M6 t仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
+ G, g) R( f9 Q9 n" `& N' {; B



2 K8 }) J) c1 u+ ]
/ a: S( S7 i( `0 m4 u" ~8 o" \


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

* ?! v% J9 f& H3 t$ j) e! N现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 H) z! l; N3 Q) `! f

: \$ L  k1 W% ]2 r% R情况一：  
* ]7 Y5 D3 G! k: {2 ]此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

5 @" @3 r+ ?. ~' c情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
2 A* _$ D4 I/ W8 z6 g
9 ~7 a6 q$ T4 ]情况三：
1 v2 L* L& ?3 I7 n" Y0 c- n此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
0 g/ V+ \" b1 @% u& T. F
' z) |. ]% h4 X, c现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

% C6 V- M- V. }由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
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情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
0 y" Q6 x+ ?: [; ]/ K3 H6 ?+ h" U
, ]* D0 V, m* `# `9 J# d+ Q& m
8 Q& G4 X# u& {" l0 b9 D
8 ~# O  N' Z! |" _( L
0 @2 S0 n! p2 r0 K5 R6 S! U
/ v0 K1 [, q6 r/ H0 h1 m! I
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

$ {$ ?0 a5 \  D% e. h* ]/ e情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

3 R/ e6 T" e2 M1 `3 c
9 [- I8 i) i# s0 K

( {5 y+ T- S1 k# s6 g; T$ R7 J

0 M4 T" Q9 Y" ?& X5 |  I1 z这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
: E7 y) e7 Q5 c7 n# f利用p+q=1，上组方程式可改写为






2 e1 p- H# x' m7 K两边相加，并利用 、，得
: R; X( u0 f5 g3 P
# A* K4 G+ `8 |( K. Q/ L



3 }# _8 E, G8 d- z& h
若取前 c 项相加，则得


+ t/ z1 s# ~- i: J2 r



情况三：  
仿二之解法，可求得

" u; D  U( W: s




1 @0 p2 R7 T+ U$ K/ I6 q0 B: N
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
5 I' b. n& R; B: I& u. Q
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
- S; u: U1 |' g% D/ c) g7 r; {
( d3 }5 L. x5 p$ F0 T  Z" N6 N
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
  S6 Q& m. D. I( O4 {) w
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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+ f+ f% k8 a( W) t5 o* Z! x至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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. n3 g8 a- }% r5 n5 c  B& u2 S
! @1 c. Z0 a' g/ |% g; P
- M+ C2 l/ K8 x2 r

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0 g+ s4 K1 g  d$ u; [5 M1 Z6 t1 d其中  为所下注之金额。利用

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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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因此可得在情况二， 时，

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0 D/ \  K7 Y( O/ c% ~' j/ s
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而在情况三， 时，

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# U2 z( J/ k, D! I4 `' C# k3 N
0 ~" e8 x& i$ q' b& |7 @但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
. _) W5 n& R) f+ u# g4 ^/ q
0 l0 Z& {: O! t- q3 k# n8 V至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录

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/ F" Z0 r7 q8 E0 P1 u在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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" g. V- ]8 k  h0 B! R

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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！