随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
6 }% t/ ^7 |+ D* j4 @; O

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
) |' h, F  n" x: T/ _" P6 V
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
* t8 t- F+ U2 a
6 g* X" t1 X& \; Q0 ?9 {) ~本文


+ }: Z- z% _& `0 D' L问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
: U% c" I% F9 y5 \
: d8 k& v5 M! C) Y为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
; g1 c( V: z) p; C% f/ o4 E方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
; J8 Q# y2 M+ J4 L  i你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
8 {: P: g( O9 A; e6 R
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
: r( C% s; Z/ i) [$ Q
++,
+-++,-+++,
( u7 v+ [) N- Q* \% a2 c  j* U+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
- v. Y, R$ |) X) P& m* Y8 f在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
' y6 b* t8 o" w  h7 \
5 z$ u' z0 d' Y" m





" t0 j' |6 U6 }  f) I; ]


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

; k! B; T4 T. i, ~& {( t++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
% @. a; g) I/ n/ B-+-+++,-+-++-+,
) T( h3 s. r( ~1 d                                 
0 p; ^& ~5 A* l2 B$ [8 R0 a, ,
& i' \! [+ s; A, j                                                                                。

' n( J( l" }% a: U- H1 o- ]仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

$ @! }% c4 ]& j






最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

5 v  M" ?6 U$ K$ n  w9 a; f现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
( X5 O2 p7 X; x6 W8 v1 T7 e4 I
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
$ q7 j. s; T0 x/ l4 P$ j2 i
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

0 g1 ~$ Q; J" P- l  k; U( w+ i
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
$ ?2 p# b6 l5 `# ?1 S, G此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
! c3 V( c7 `* W: B此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
4 T6 X9 s+ |/ M1 l9 p: R' `: J7 R
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
+ S& f; W. T4 w4 Z2 @* z$ u
+ Z! F# y6 s( ]/ I由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
$ p, Z" T3 l5 d! U
! ~) g* f1 e0 Y, j如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
3 k5 i4 _( x5 I5 g% |! g
  D- n, p3 j/ A2 N9 Y" o  A( h
情况一：  
" ^. V5 Y4 l: v& i假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. `) c% g, a) E# R4 j) c, ~



& N: I2 l( O( L/ R  s5 r
) R- ~" O# Q& C9 c: t
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

! d! r+ k! M3 H' G情况二：  
9 D5 v- H" m3 K8 F& i/ r; C令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
0 t2 V9 U3 _. i$ v
7 c& b; K  m3 o7 p, K$ L




, G' Y% u, ?# ]6 v# [这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


3 g* A1 a+ N2 O0 D9 V* P' ]
$ m" r1 u+ S1 Q# C$ [% c6 b


8 ~) [. p) Q1 C6 z9 Q7 h两边相加，并利用 、，得



, O. ]! n% {$ X" r

5 L. s+ a9 u" l
若取前 c 项相加，则得
" [7 _$ T. ?+ S+ o; R

' D! N6 S+ h: V$ |; R; e


- k0 [1 J2 G- q% k: c
6 R* @& R- s7 d4 M) u1 Y7 {情况三：  
& g/ \1 ?0 x8 n/ s8 Q: h) ^( w仿二之解法，可求得
0 }; z% \# M/ x8 \

. [2 H6 B! A0 [


& o! M/ |6 j" A  e
- i. M, V" |# W& Z' w
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
" o) H3 |3 k6 W" I/ e% o
+ p  `# |  P2 Q- \  T) P
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
( Q3 p+ f' v# @; w" }1 \: S此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
  L7 Z3 y( y, H+ s8 B- I
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
1 z) n+ s, e+ j7 L! l  ?
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

% i% @4 G& {0 v5 N- X* D至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
$ ~  ]( X9 i% v0 A. }8 V5 J
! |0 r- X1 C$ m. v9 T



) w% v! f/ S/ R. n8 N


其中  为所下注之金额。利用


0 r, v% J; S* U* {# r3 p1 r0 ~( C

- H8 `5 u8 m2 a  l' h
# p1 l! z& |- T  d; k8 ?
8 S" r$ k  x; t! L6 J3 v

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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5 ^8 J6 ~1 u5 P: D% M, j. S

' \" X8 ^8 g9 D! \3 s1 Y



6 w- o  t+ X& K2 o; A因此可得在情况二， 时，
' T: [  L' c8 f4 W" I# b, k6 a0 z! R

1 m; z7 E- J- \9 B# [
8 z+ Z0 l& Q9 R, Y
$ _& |0 e$ |2 w" k


/ N" E; P0 [* y+ T
& t& D7 l& p2 P6 J而在情况三， 时，
0 x5 }6 X  P8 C) @! D* d, ^' _  ]
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2 n9 P. z1 A' V1 h. O


: Z& {* X: `0 n) R
6 k6 t9 R0 P% f0 m" S: `但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
$ s9 w$ E7 r; m9 N: O$ Q
附录
1 U) A/ |+ Z. Q7 C+ W8 z8 [
# `  W" x  i. G/ \
% Y) b. r" S& |4 ~7 ^2 g在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

0 D+ O9 Q7 `/ h0 o6 h, U4 ^
8 T  X6 ?/ b- @0 j6 t7 L



3 G  C! _/ m' _

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。