随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

) l, X% u$ b! R+ J当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

) {$ w0 D7 X# w5 P8 ]本文
) @1 w% a) I. g/ ^. O; O

7 w$ \$ `9 j8 l8 M1 [; r问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

$ N6 X& Z; B; T% i1 K为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

; f7 m+ }/ ~" j# Q4 j- N
' a$ ?$ k: v% L  d' a" [" |方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
! r$ X/ j. i, P7 {方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
+ r" y" I: A" b" n2 N5 S你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  `  D- ~8 C) O9 p4 c7 f/ M+ u
1 {8 p5 U) D7 e' R  H' g( p++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
  H* |0 _2 K) i/ |$ d7 m- e在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为





) o1 f$ V, O: q$ m' D


( ^& D: G6 A, s2 M9 c  j; d
' r% }+ r! V4 N% g
/ \' I, T9 x, u2 y, M7 i现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

, T+ i. ~1 {0 A3 h7 l5 }5 N, M  B++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
1 N3 ~# x3 u5 _( x-+-+++,-+-++-+,
                                 
/ b, M, r: w5 a7 `, ,
                                                                                。

( U. C: H+ [7 r2 b+ u仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
. b8 L) R3 H7 m) m7 T6 O. o( G# `. D) q
0 E& k* N$ }) M& V% F# d
" a& x% d3 c7 E$ _: n
( A( n! b2 u+ R  \& M6 B+ a


: b2 h% _( A: _% V4 i, W
9 E* G) I4 Q0 @, S! o* A
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

' L3 `* V* j8 u7 h7 B这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


$ C# k# a6 M  L+ v6 [情况一：  
6 M# d/ N1 d9 Y+ A$ m! f此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

7 z1 \  V" v" S/ ?情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
: A$ Z8 n. F% y
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
) k, D5 r5 N/ Y! w
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
$ P- x' W. s3 a+ y- E" N! R
8 m6 J7 ]5 R1 o  ?& g9 k' Z2 s如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
* R% t: q, q1 I5 c: X
* Z; E* B4 I* p, m9 i
- H4 X( X$ k; Q8 r) U: s3 m5 P情况一：  
2 x7 G1 x8 E  p$ U( F0 [- F假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

  w2 ^1 Y+ O% y  c2 h

- \1 X2 v/ K: G: j6 j

  g! @$ _/ d$ @! g
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
5 g8 R# {7 U& ]5 m+ ^# J- P. i
情况二：  
9 D5 q+ B% K* E令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


, `% [: I8 \+ E) p: z- D


8 T1 N+ z1 i6 _5 u
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
0 A+ \* N5 K. v+ `2 {# E3 W
! q$ f8 Z7 p0 F4 a+ Y9 Q5 ?
5 L2 r3 M& W7 \  O' i% k+ @# \; G
# w* Q5 k- z( C) S8 g- B' L
  i! R8 o, I4 D
6 W4 K8 V: {5 q8 S. }0 q
两边相加，并利用 、，得

' M: h9 V9 d; Z% Y) u/ Z' N  C) k




若取前 c 项相加，则得
1 Q$ ^. |6 d" }* E



& `: p3 V* O1 s! A0 y* U
) `% Y& o+ G; d$ a" u9 h+ |% y
9 C* @* L: d; [. `) b1 i  J情况三：  
仿二之解法，可求得

* x, c9 ~% V; ]7 P

! A& ^8 ^8 e% e. a6 Y2 F
8 s6 k/ |* T( E+ J


' ?5 B* P% F7 e: E# r保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
4 i6 D. s; I+ v' H
: d# c  Y$ B& `' d; v- e首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

! y! I$ L. Y) W3 z9 A
定理：
' _$ H( p0 O/ s设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

) U; i' K  J: n现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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% E/ O8 T- u1 q/ D首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
$ y+ r4 _' N& r



$ @. Q# k# ]4 v/ o
. Z: h, t- f3 U8 E5 A+ C7 K8 C
. B0 u* }" W, Y/ e/ a6 N: Y9 K

其中  为所下注之金额。利用
! T( F- }! f" W8 {" r9 K, R& g" e

/ \: B4 v  n% M/ T& P/ H, w7 j
6 y% ~1 `/ R: p. B

* w$ v1 ~9 Q( K* m4 z


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
8 j# J+ G, O! U" s) t6 g" |

; H# f1 I1 r' _8 I5 |9 I
& `. @1 Z. C9 e, q



2 d2 T. x/ t5 `4 x
因此可得在情况二， 时，
2 {; ?# R& _2 t' X
! g" f3 N$ N( X. ^4 ]# x2 b
% R: \% c7 H: M1 t7 n
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# b4 W8 T7 o6 T. t& `# l8 W; @
" k! T, _* F1 F& M6 R

而在情况三， 时，
  J' H2 Z( b" d
# C2 i. H7 G3 t0 L( R; ~

0 y8 B- d, A$ W& Y, I
% G0 f5 o9 t) _5 _1 @4 v2 v# q
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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

) C% T; T9 \6 [2 f+ T至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

1 N8 r, A) j3 r3 G- k附录
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) m, X( j8 Z. ?) i5 p在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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4 N; v& R4 \! o6 w) t
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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。