随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
  u5 g8 X! u& h  H$ _+ e
本文

( Q6 N9 t7 _; P+ L* T
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
  ]5 z! |8 s) \* p
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


3 M  [! |& Q7 {+ w, P9 }; z方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

3 M7 F7 ]6 t' {% o, |# g) k++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
: q, p% w1 T8 I在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

6 r- I% W* l' S* {" U
5 d7 ?+ i8 b" @3 m  |$ n2 z! c

; t. l( E* i. }+ R, T) R) K


: [% H, G; u' N

; [+ S1 ]; X3 |: `* v: @
$ V; G4 G( N- `* _" A$ W! F现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
% ^5 u7 T  T7 m0 {-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
4 V! s+ g0 \+ g' A8 m+ J$ F) M-+-+++,-+-++-+,
                                 
! L1 V& L& w$ {- ]# v, ,
                                                                                。

' m4 n- F- P( K2 V+ B1 E. {仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


/ J6 U% q3 {6 m  \* x" C




& y: K2 V/ b* [6 ~7 ?
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
- P1 W/ p5 ~* U
! x) c: \; }  v) u( x现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
$ R+ U* o- w( N" X7 h/ d
1 P4 M; m5 y8 s1 z( v0 O) {这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
8 O' r) b( w3 n
& c% Z3 T% |7 A. R现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
  @. z" M6 u- z  N

1 q- ?3 A7 y, F3 k情况一：  
) h% ^4 M* Q8 }5 F此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

/ P9 I! n1 z0 o" w+ m情况三：
" j6 K& p3 \9 g! E6 x" `' D此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
1 ]& ^9 K  B  p+ |$ t8 q
/ O: |% y: t# Y4 d' e如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
& K$ N; U9 g3 ~/ r, H& @  x, ]' z

情况一：  
7 ]2 M" _) U+ @假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

8 h9 q9 ^! M6 C# ^4 w/ h
! e- p, i5 M4 Y  H# a. d

# B9 m, W# s1 G) o+ F0 P
0 v9 o4 p' ?% S5 m
# S. c4 l$ o" T+ C; z这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

* V; O7 U1 m, ~情况二：  
) z8 [# }4 H6 ]! c8 ]令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

' A8 `  V) n7 g! r% b/ u$ {

; }7 T) N: B! j/ X# z
# }. w/ k5 V$ O! Q6 z! Q( ?3 X

7 h  j$ [# n+ \0 l2 E, `这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
4 Z5 [" C: i4 U$ S5 S$ e7 B1 x利用p+q=1，上组方程式可改写为
' d, m. m9 `+ Q" i; |


0 W1 ~$ j$ H% l! h


两边相加，并利用 、，得



! V& L. B# W- ~/ U) f' [9 E; E5 j

/ c" r% }; [3 [: K/ S, Q
, Y$ k. n% b2 a, U3 T; }& ~8 r若取前 c 项相加，则得


- b) Y9 D% `4 o) o5 ?
3 D0 [+ E6 t' F1 {+ n  d/ Z

# Y* H' I. ~* F! N: K5 ^
情况三：  
8 G6 T, m* H, C: d' q" _+ x仿二之解法，可求得
! P. W$ y9 E" _0 \; l) m- O4 Y
9 U* B# ?4 y* C! e: y4 v

1 V; z5 {" g/ s! @; I
2 K3 A3 I4 }  i8 Z

! b: Q+ ~% Q; Q8 G/ f
: o0 H! ]6 I) B' e* p/ `保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

, i: G2 G' l/ O3 `0 L' K首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

- j6 I) [/ R2 i! ?! A" t
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
+ d& @; Z5 b# E此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
& A  Y! h) G" b3 T# x8 h
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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) _# B" K+ K" b) u至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

' N5 H/ T  r, z) I. a
! T7 g0 I8 R) m3 d8 R* j- z' S





其中  为所下注之金额。利用
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$ V4 b& q4 C. n* S/ d7 N. P
2 a5 E5 o1 C- F) q可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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) R. R, z+ E* F9 }0 j5 L4 x

因此可得在情况二， 时，
: q$ x9 ?! @2 B( b" G$ E9 ~

, S; R! l2 L# B1 e) D1 D! V% `

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, \7 N, a; v) ?而在情况三， 时，

$ T8 K& s% U6 V9 _" C, y



- G: M: T3 s# s$ D


但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
0 I3 D/ w9 K! V2 P5 t% c, g
& u' B5 J4 M, z  m* B! ?, f/ S至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
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在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


* h9 l6 o) \+ v
, j4 [3 m8 c: F" L5 Q1 P, `9 Q

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: W8 F! J. s* i. k2 L) C
7 g) P# v. g/ C* F: k5 D, a另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。