随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
( b% }  Q5 o2 h& D% u# B

) M0 d- m. s# p* V8 V- Y* l有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
9 ~7 T+ z0 L3 Q0 T- M
6 u. k! {* b- F本文
4 A1 N  U. H$ Y- Q+ F

8 R5 u' y" [( m7 x. O; B- x问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
3 p% Y7 c) Q4 ~- s! }6 D0 w5 V& ]+ a
8 m% ~2 z+ {9 E3 Q5 X# _为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
6 D0 N! q; J8 |- S

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
8 o' E; w* E8 }1 K- ^  t* O方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* d9 b* x# V1 s( P! w3 G$ U方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

; t; d0 N: h0 W/ Z2 K6 n1 ~首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
3 j0 `* C4 c8 I2 J- j6 E: `
++,
+-++,-+++,
2 k, k3 N* {; W# {& ]. _5 I; V+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
# H2 X+ w/ S9 x9 x# |' `; w                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
$ u7 y5 n7 C  j- E
$ S7 z1 ^" D9 O0 v$ W' \
2 E' ]$ e. l7 Z5 K6 V' G7 \# Y( I
: w1 C- I1 k' I+ T* i) w8 [
7 G! d# h% y9 F4 d  O8 l
. S4 [  l! H3 d: M
' g& a! G" K) }! K9 ^8 o, g- J



/ ^, Z) N  R- {* J, l0 F现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
# I. M. C: Q/ U3 Z7 q- h
, ?# {) t+ Q: Z5 H% O$ X++,+-+,
3 Q6 m) F/ e0 U) H- j-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
! m7 X1 Y( Y. l2 F: A                                 
, ,
                                                                                。

$ z, K4 k1 F; ~$ r. d/ ^) p仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 W& r+ J& ^/ z' I" }% g


3 g1 h! m' @3 D! Y


$ P2 S8 U4 z; O0 j

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

2 \$ O: M( d( `" {现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

4 D0 F$ }* I5 v( [这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

$ v1 B- G  V  v现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
: f2 }3 f8 c: F) h  x
5 h/ U5 m4 \4 H情况二：  
9 H' `3 B6 \, D/ z0 ^; d% X此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
: p& _0 V' Y4 p$ p" M
情况三：
, M$ V2 t, I+ |5 j0 y0 a此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
7 N/ [4 L: Y" L% j' R  F4 L( _4 d
. x: c7 h% t+ U; h4 A4 Q6 d+ I现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

1 L' [( X: G( ?由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
2 N/ N9 [* u  R2 B
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
$ f- P! P+ w( Z1 |: L, S0 C

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
4 \4 D  m& H7 L) M' h& _( u5 F

6 R4 A7 I5 u. V5 n/ s
: p' U2 n3 [( ]& W
5 [5 H4 H# Q3 B% O+ H

+ e! Z" J4 `5 F& O& X4 O这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
% a) D' [1 [" m3 Q  q( ?. k
情况二：  
4 l( Z5 {8 P, o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
% t% m* C1 J6 ^
( Q. ~% y6 {' O; b+ x* u; `




/ a3 S2 B. x; o- _" g' c( G这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
0 W. O( L, x" @1 w

: c. E+ z5 t- z0 \4 [0 d6 E

4 Z6 `( O7 l9 f* R
& q" `+ R: }; ^9 u( e, h; V
两边相加，并利用 、，得


  i5 U3 F- |3 t/ W; o



若取前 c 项相加，则得

2 d7 G0 \2 J6 q3 X% w1 C. c

, q: ]$ z0 T: ^; |
! U" Z1 p1 u! a
4 }8 y& x5 b2 d
情况三：  
仿二之解法，可求得
8 s7 B! F, O1 V

4 e- F4 |6 o* v
! M% F0 `% z7 P$ V; Z0 m
5 E4 ?+ C8 Q; A5 y# S9 M9 B+ S( K

/ d+ k) s: o( c' B1 |, C
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

' v/ t3 A2 O) w) L3 e3 ]首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

4 `2 j- y, d4 T9 {
) E3 n7 h) c$ }# x& x定理：
. M/ t! S; A6 e& d设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
5 i+ L8 a8 Z. m8 u1 z9 Q  r
: Q/ G- W3 Q" X至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
9 }# ?. n9 t  ^) ^
0 o/ i, i0 P" [1 v- [6 @
/ x2 M9 \$ Z0 a, ~6 T, o+ i; L" O
7 T# ]9 j1 U! m. T8 Q


. t4 h4 F  j9 P7 @% y. e8 @& ?+ |
) H: w$ p; H+ M3 V2 {0 Q+ W- f
其中  为所下注之金额。利用
$ @2 T. e: I: E7 g5 ?$ m

6 c0 Q. m/ G: ]5 X, H  ?9 g$ z
' E) h# Z/ J( l  C
$ P$ d+ ^! ?' w; g

# [* y2 j" C( b

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
0 X/ v. d7 m0 I. @
+ |: b+ j4 E2 N4 W( m6 D$ m
* O3 _% D  v( ~/ F



. S: x# t7 e: b

因此可得在情况二， 时，






! d% _) \, U: ]8 ?" Y7 F, E

而在情况三， 时，
2 U( {+ x8 ^  A# c/ f




2 V' ?( S9 |, G2 B
+ f* f2 P/ f1 e$ |

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
9 F) \: D! s* \9 g
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
4 D; f8 O: f9 E9 y8 H
附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


! j7 S* x  S. \
& R: m# T: e, Y6 }8 O) l


3 H3 C- Z$ k+ d5 ?* m3 p5 ~

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！