随机赛程的最佳策略

引言
8 [, ?# N2 W' c
- y& N, t+ o1 O在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
. }0 {+ N( g/ _. V
$ B! n- W: B6 D6 E/ O% r6 N7 B问题

# r' W6 G/ y6 Z5 z3 d3 N; C
7 Z2 G* i) R, K! a- C2 ?  R有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
; H, O. C; Y( a
0 Z9 u  G! b3 U+ i) C当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

$ j( S+ L9 h5 D, K& L3 w本文

4 W% V1 D: c9 b
" P! \. [& \9 w0 K4 ]% L& m问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
  C3 C+ k: v+ `9 \8 ~
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
* \6 E. T7 W1 y, _5 m( e方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
5 f7 b3 u* [; I: P2 {9 }& d方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

+ w( }/ e: f: P* c& v( c) `" [首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
1 P! o1 }# C% P/ b
++,
. |- H3 r3 W& r1 f3 n+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
% V% D8 R+ Q  _1 R3 Q* O9 {1 o5 j                                                                                                。
+ W; C( R) n; f4 d" E, N在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

) P( y5 q+ |3 e" c" E1 T
( V1 ^: ^2 N! y! ?8 |
& C) Y4 F) E- l, T8 P


1 a  [# Z* ?. A7 e7 I& a& r
# k8 {* Y& V; ~* H6 y2 Q


1 f3 `1 v! U; V5 u, l2 j# Z" Y. H现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& U; @/ S& A) C
. _' e8 w. R% b: j1 q++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
, ]% Y) q% D& @" ]4 H2 U. q/ t1 I                                 
, ,
% Q. I4 c7 x/ m6 ~                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
8 q* S3 B9 |  y, \  U$ D4 v- V

" Z- R+ K$ `' B: h6 Y1 n

* o4 }% W& u2 y- I

1 }6 V; L1 [3 M, D+ a1 E4 M4 y
+ P: s5 u0 _8 U1 d7 o0 J% Y6 [  Y. I
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
9 n. R" i" c8 T9 u% @4 i
7 Y5 |3 i+ G. M1 z现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

' w6 L* |* K( t! `4 Q7 A6 f- W这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

2 b; |9 E1 W; L, {6 ~现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
1 M8 E" S7 d: r& b% u# S

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
) s) `& i5 a4 O, h' h
情况二：  
. I# I- H, e6 R8 }' B此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

$ D8 E/ a# y0 _' E) _3 Q情况三：
& b7 s, l# E* y9 ^此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
8 ^( R3 v. \  b6 ^" l5 P
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
" O( Z  `0 M, ~" G/ L
0 a2 U' `! S1 Q由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
* |8 f& i- s# V: |4 D0 f
5 L$ C/ ?: S( e如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
" T1 n/ }7 m9 f9 V  z假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
3 P% S0 E9 Y3 P; s) ?
% n- i+ J9 ?9 o" Z2 Y5 b
0 l* ^5 B7 G) ]/ l7 O; K
$ n' l" ]5 q) A6 T' C2 J. v0 B) R& M

( j) g1 ?( Z9 T! ?/ p5 k4 D
; h! |! h2 j( \8 N7 c8 \1 \  j, j这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
. {" t3 H, y' Z7 T. V% i9 a- F令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

. m& u: ?: M  Z/ H" P



" M, W7 {! V7 V* _$ e- H/ ~. y1 [
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
* p* I' X6 W" ^3 J+ V% I* q& N1 E/ g利用p+q=1，上组方程式可改写为

" i* S, x6 I1 U3 R% ]' v


. ^' B6 ?. Q" I# d
7 M! H% _, p. c/ j4 n
两边相加，并利用 、，得
; K$ `9 D' I; o' e

$ k3 c! b5 C3 X8 F: t) f8 p

2 h7 w$ ^4 f: F: f% A  A1 \
: \" o" n- q( T# z& i2 ?" C
若取前 c 项相加，则得
+ Z3 x1 V( X3 ]1 O$ k


, R% g% L* x5 e" z


情况三：  
! l, Q$ n- h; ]( J/ M/ U, [# ?仿二之解法，可求得
! O- n  H/ I! F$ p* ^
, P3 S  a% V6 N; Q0 `7 y
9 i5 V4 \0 S3 _5 |3 D* n6 k/ Z
! p) o: O$ ]' {1 L" b5 D



( O4 d3 `, {' }6 y, Y保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
6 j: ?( N& l: F1 e* ?0 U- V' h8 V

- U; M4 `% Q. R! D3 Y定理：
- B8 Y  O) ]( w% D* H! l设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

4 p' K" r. m% g  P# v( \% l9 t首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
: [% R% [/ I" L. Y6 @$ ~
5 j% ]+ g; Y5 X" k0 g至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


# e9 \5 F! Q/ P# X

  p9 g; I* `, S9 K* C$ x' q6 X
; |9 |+ c' H+ P
1 L* O8 m. q9 P
5 g4 `! c# }; }/ i: R/ ^
其中  为所下注之金额。利用


! Y9 _* M7 C) K: q





可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
: F/ Y3 e) ^" i- k
( ?+ s) o8 B5 |/ A; x! x





* f- }0 s) d1 }5 \3 L8 D
2 k8 f; O' x$ f9 P7 G7 o4 z( \5 I) Z因此可得在情况二， 时，



4 T( Z9 t/ [1 m. e" W" L$ Q

8 L9 H1 X( I/ `+ C/ w7 X/ w
4 \2 J0 G7 }% D  L, h
: I, D: j+ ^5 P2 F# w, p
而在情况三， 时，

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3 T% H7 H, N) n: X: Y2 U1 c. t: q8 _  `

3 k7 P3 P5 H. Q) G! M6 l- s

- N3 f0 q2 V4 f# {8 H
7 [. f. q/ t! M" @5 P) _4 n
7 `) f: ]* L* R但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
4 t  J& n1 S7 B0 g
8 [. D0 z) E* A; U" l& O至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
9 f3 Q& n0 Y- N
附录
/ j* D4 o! R9 d6 w4 b# U( u
( i# K9 ~' H7 {0 E/ V
  D$ V8 l$ l$ E0 h0 V( d在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
0 d& A, W$ N* r; Z
- Z- B0 S( d+ ?& W" Z" }



( U# U! f) ]  \, A

9 u, O: W6 W5 R. b: q
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！