随机赛程的最佳策略

引言

" U5 ~* I( p7 y在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
; e, [5 W: K. c' `" y% y$ p# P
- T  X2 I3 a1 `8 K7 s问题

$ \' K4 ~8 p" ]7 i7 A. q
( U: r7 ?/ v3 r3 u有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

+ }$ w8 g; B2 F7 b8 ]& c! e! m当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

- ~2 q: X' Y& N/ `本文
1 u& I2 g; U( o' v$ g

+ I; q& x1 o$ K) [: I+ M" W问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
: m' p' O8 q3 v3 Z1 ]
. P5 r  ?, ]: B  S7 W$ i9 O; h3 D* A为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
1 s# T9 E6 N8 \, j/ t; G) D- v

( Y( k4 i; C- \" A+ k方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
9 ~/ ]5 O, ^( R方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
8 c  x& }0 H7 u3 |方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

$ G, F8 d/ }( P' R首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
" P4 J& ^' o6 z* H1 {3 i8 g  K
++,
, J3 H% u$ S& ?3 E+-++,-+++,
( e0 E0 m) [: a5 I& s, ?8 Q+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
: J/ g1 Y8 P/ D$ b5 a$ r                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

+ d' W7 ?; g4 r8 @
* h' Q& i9 ~0 f$ F8 e8 k8 A
6 A, O  b9 s& v9 k& K+ y0 @


6 o1 @! q( T! z1 ]7 N


0 m0 K" F: m) `  Y! A* `
5 ^1 j* }" j$ i) P现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
: c, y" A% T! c$ u) K. S-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
0 m. q+ S- I$ v-+-+++,-+-++-+,
$ V( X. E* i# P7 {9 M  ^8 b                                 
- u7 \  d0 N8 A5 u# N% z, }5 t, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

5 A7 s/ k& z! n6 i' F

2 I& y8 r* Q6 P# E/ m

# a; F0 G5 }/ h3 N
( F7 o& y. d0 Q. D+ _
- I, q. Q# [4 k/ f
: ?' K8 O, ]" H$ Z* L最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
& I1 r& ]8 [6 L
. Y5 p. S, l# m1 ~这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
+ M8 `% v; \# w2 i1 _
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

! Z0 ~' B9 Y7 R: N+ h7 h
情况一：  
+ Z0 C. l4 Q  l此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

/ Z' M8 D3 E2 g1 |, F/ \/ s情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
; e1 p( l: |. v/ w
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
) P9 L/ ~+ W- h; G, a' }
7 z  Y5 Q  t% f% P如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
8 F+ q/ p' ?7 g2 z: c! d) u
9 o& C7 K3 T4 W$ o
情况一：  
# u# {3 t6 H; _. Z5 y( k假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


4 @2 o, I( _3 d: \
" a* B5 x; t" S# ~! d  G9 l
6 W7 ~& X; V0 `0 l7 E! ]- `" ~0 T

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
  ~0 F8 d3 k1 t
情况二：  
( e1 z# |! L" I$ ?令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

$ u) N, ^- I! e" P) A' \

/ \  O* _  U# _/ o- R3 H# k
7 s. K0 p. Y3 T& X; O* A! N

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ w' O, Q- ]+ `, ?; \利用p+q=1，上组方程式可改写为

/ u5 F& \5 \* o, c1 x: C, X




两边相加，并利用 、，得

+ I: k/ o6 X5 e; T- @, M

' ^# a. o5 z3 j$ H# R. S( m, x8 O
  Q# L! B2 \: @7 l4 e0 \
( t; }* Z  b$ y' ^
' k. P* T+ B( p' B" V) X) V/ }若取前 c 项相加，则得

; _$ |0 c/ m  [- x& r1 |8 @0 Y


1 m4 _) Z$ A5 l& V5 U" w2 }
$ ~7 E: @/ \9 |2 j$ j2 P/ v
情况三：  
仿二之解法，可求得
- l, O. A/ j% R


' p$ D) p) e4 r3 @

) j! N9 V  x. e6 c

; D9 S/ m+ e6 [$ Z保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
/ }+ F! x! S2 C! h8 |8 Z
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


0 g0 u/ r& V+ `$ Y" Z: Z定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
* n  S* g2 |% a+ T$ Y+ f
8 F& l- S3 M$ C% R+ g首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
# D3 a6 T5 G. y/ Q$ F: a' g

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" y, Q; j7 |" M/ ]




其中  为所下注之金额。利用
# Q% K6 l9 w8 Q' G5 V



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  h5 [9 C, W: Z$ `
1 L. Z6 f8 {5 ?; S) x) C可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
$ n+ S$ H( R( z
& H- i0 ^. l8 Q; ?2 W+ n' h  r

. q$ r2 r5 ?0 I% r7 p, S

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' b7 v8 n! l; \
1 a' X9 |8 B" ^5 }0 `5 U  G: y因此可得在情况二， 时，




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) I4 D* X( t) s0 a4 ]1 F
而在情况三， 时，

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0 A! |9 Z& T  K$ R

5 }3 ~' B# F% a0 f/ I+ X" h
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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! h7 ~5 W2 }3 O; w5 J至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
2 ]( u8 T( T) P  I8 P
. o# S: B0 X9 ?- K( o/ P- A; ^
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
9 q  }1 U% V/ b0 `* x; s
" w! T7 F6 i5 J$ s/ ^9 v3 X  b0 N3 W


0 a( q, k: G# q2 V# D
7 K  j# B$ }9 C/ H. P  W$ B5 v


另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！