随机赛程的最佳策略

引言
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  i0 p. ~2 X2 t. z# m$ X! F9 p在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

. Q* a  k( [' B问题


1 e# N& g1 H$ |+ k有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
" ^' b* q8 S  }  H! I+ j! j) R: h
; k  d! f9 o7 u3 p: U3 s当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
4 J& N; @. u. W# h' `
本文
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/ u, e& f, @/ k" @问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

+ j4 T# K+ {/ H$ `" c0 D为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
$ J7 P) |4 x. ^2 J; l# @方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
9 }( G2 j! o9 `8 j! O你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

- n2 k2 z, _: U( v! |4 l) R首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
. U- Q5 K7 Y% K/ J
9 ?" V* l2 d# b: B++,
0 R+ F# C, q9 @' |/ F# O' ^+-++,-+++,
5 T/ d6 z; n" m3 T+ M+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
$ B/ a; y5 X) h




  H1 V7 t9 d; N! D$ R; g
% [( K( u2 i! P7 `- M6 i, l


- ?# o+ `# P3 a1 Y9 N) S# D! ?
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

! y- z" }+ \: C. c* `( u8 Q++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
. x: K9 ?* {' E1 L9 X                                 
, ,
6 m+ |. d+ i; `6 t                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

" F/ Q7 \% R' C- B0 W7 j9 K  p7 D
) Q5 ~) }+ g* z' C7 P



( g& a' H4 G; d) c- I1 D' U: R- ?

+ `1 x% P2 o* |5 R+ B+ ^' |最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

: I5 ~3 I. ]0 j% U! r# k现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
; [" e0 f& O! B
0 L  d8 B. C7 t& T9 L. i% e6 a这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

) r% t- H3 c8 Q- W
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
/ }8 B9 S3 ^1 t- e! z$ ^/ O3 a5 e
' x. K0 X, M/ \* G" Q) J) V情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
3 }+ L8 V. g7 V% T; ^" {
情况三：
8 S" {* v% w6 h) y1 d8 ^& E此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

; U; F+ S# g' o; _由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
; O2 l5 q9 T9 a, X1 c
  ]2 }% f. l1 l5 n- X( u6 w& F如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
' F: G/ n( U2 s+ G) P

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此





& n! I/ l2 @4 _: B
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 Y1 {2 |1 q2 P) p7 z
2 A  M- l- W* a; M情况二：  
. z( \5 t* J' {) V0 Z令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" I" Q1 E6 c+ Q; u
9 M# U$ S# ^; X+ G0 u# P0 v6 i



6 h% o6 q) p: s
& Q! X5 M! t( D* Q这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
4 g6 @1 n$ P7 [1 B6 {9 E6 V



. h" x( n6 k& E7 m9 \/ S

4 C" K, i0 e! v8 v5 n6 U两边相加，并利用 、，得
8 L& s  ~. i2 v- U5 M
0 B$ r2 @( o$ ~& [


( _+ I8 d1 l: ]: Q+ H6 g' Q; X

若取前 c 项相加，则得
+ e- ?; C; W) ~% G2 n: x
$ a8 _6 i* l  U
6 M- a) u& r# }* G


( O# X% }& g* X9 q/ a) O
情况三：  
仿二之解法，可求得

& J! Q  G$ Q% d+ B& a


# n7 s  |0 N( M; ~* I2 e& v/ f& O! x

% w5 f# U4 j3 f: G6 }% T5 _/ [
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
6 J7 t$ C' h% U" Q
2 R5 {/ l8 ^' r: L6 k; {: k
1 N; s% y# F/ F  A; O定理：
  k& D( `1 s& W, e设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
! {+ j' a. P/ |7 y' v, x3 M5 o7 P此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" n7 f  y0 [% o& p4 d. o0 X6 o
% n+ n* z/ P3 j4 |. b: r首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

- I  b, d; b- l8 t; c/ \8 s# m" G至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

3 [  u' g: `% S3 O+ c


" q, B# |) {* |2 X. T. y

& y6 V  D! v# S2 u+ M- e

$ W/ s) Z  ~; @% [/ v; X( B其中  为所下注之金额。利用
8 w/ `: Y+ m- f2 n1 Z4 L


; ]- D. e+ M* `4 R, H




可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


, L# n! q* z" v! h, j( g
5 h! b! j  t& B
; x8 }1 f8 M! ~4 }# A) E
8 O; G3 }# N' j; Y* U; a- Y


因此可得在情况二， 时，

# e2 Q6 k1 R0 @2 r7 b/ X4 Q
0 ~6 e& y7 |) s

$ D* p' N. U8 ?2 }2 U" G! ]* r* ?: ]
  f- r7 z4 Q/ {  ^( C* A' o

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* Z1 _+ w8 S* k- A而在情况三， 时，
  u, x1 v. S  s8 D

* P: Z; v0 t! J6 p( M
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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

# `5 ~0 ?7 ^; j5 }, f6 W5 C至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！