随机赛程的最佳策略

引言
- q6 p$ R; Z2 X/ Q
4 n+ Z# ]- }) ]! Z4 b在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
3 V- _2 E8 E3 x0 h$ I
问题
6 v9 X0 k" B3 d+ [3 c$ a* l1 x

: N. S1 q5 V5 Q5 m6 l9 V, m有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

% H7 a' \1 ]  H6 z% E4 q' b& e
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
* g% U$ i/ R9 l5 N" }1 o

% k. A9 b9 D: O6 H: d方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
* I* a# G5 t3 ?  L! D你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
8 A9 `7 [- D% ?: f3 M
  l2 W- v0 J+ r/ K8 T$ s9 n& v首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
7 o! i3 S/ O. v) {5 v  p
++,
1 T, G: F2 l( H) P& K+-++,-+++,
% y6 @% q! ^5 v9 t+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
% I4 l( E6 ]4 o0 C$ }                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


4 y$ ]6 r" o/ i8 v



/ d3 e/ ?, ?" \4 W, V
  S/ W  S# c$ d; f) d$ v+ U  h

3 r" q# o# [) ]8 V
$ G5 r  z) G, |3 E% S. l现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
, v  z4 D. |5 V& S: D# I- f: f
& [4 @: Z% p9 f* J# [5 W++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

* t+ M/ j3 w) [9 N) u; `+ m' e6 R仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 f8 W  B9 _+ ?3 o3 k




3 p$ H: Z: k+ e# ^+ ?$ t

2 c( v1 a" Q: s1 @: q
7 q: c1 U8 ]5 q$ D/ C最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
+ x/ |! Y; F' p3 q$ @
& {$ z; X4 O# f* j2 `现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
( N* _& D9 I( E: b: ~
- f: ?- A+ S7 e: X" b2 t现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
6 g) i( f+ V4 `0 ?! }: R
; J1 k$ _+ M7 ]. f1 u. I: ^; _
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% d2 |) g% N$ i' t4 B, O  j! q
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
% N7 M5 H( M1 C8 |  R& C3 m' }4 K
0 E5 d* Y! X" E# Q. g情况三：
6 B- P# l  l/ C8 q1 I* |5 N此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

3 k- r. f' n; S现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

, y8 T) u- D+ v' l9 A. R& _1 q4 T- l由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
  y8 e0 h' h. I+ P5 g" y2 o
0 P9 k; k3 G; y  T7 D4 G" d如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
+ a. Y$ ^( \0 D8 h

+ R" ?  I9 S6 S9 ]5 a2 `# v) {情况一：  
7 q, R: g7 y5 Y/ H: C6 Q" Q" |假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

# o! H% `5 m: j! h

3 J  G) d' o% K0 {


  E9 P% c: x! s9 t8 S这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
. H, v3 G' a3 [1 z7 i- `$ j$ o
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式




5 M& e+ R- H: u

/ a6 z9 M  N6 M  Y* ]& g这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


" i3 P7 m/ E# n6 B
# j5 N# y" I/ E  O


5 z) n& Y& k3 M# z6 O两边相加，并利用 、，得

, V+ P4 M% y4 G
( U2 a& ~% Z% @

2 L. d# X5 H" ]* T9 A
9 Y/ B- m, z' ?$ @! \+ o
若取前 c 项相加，则得
/ i. @% N- R, R9 n
' Z4 d6 f2 ^3 q) X" I: r) d
  a3 S% z3 l; W/ l; y
7 q" [8 w# D) y% F% s# {

: u' u8 a0 K  o' i! h
情况三：  
! ?, a6 u  j$ b仿二之解法，可求得

' E* L% I/ G1 k/ @9 c5 _7 M

" `. K3 ?/ ?. c( ?0 f0 P

! `7 W# K, g0 j& y2 ^6 G/ c% R
' b7 G  z2 {3 m$ ~6 N7 q6 J
# t1 {# i# _! y. c1 k4 q& V保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

4 v- B  z  T- ~- I; b8 g, L首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

! ]. z/ u  a: Z: c3 O! i* K% a
; P; E1 |" Y/ [4 s定理：
: e4 N* v% H  X/ l; `6 \设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
. B0 l2 g6 ?! U& N( `( ~此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

  |6 H: x* J4 c2 x现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
  y- ~0 \- [2 k
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
* t5 }* k2 ~! A  ]3 o! l! s; q# r
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

+ u% m8 |% K8 W& h
  W8 K+ {8 b) R( Z# {. |* h  g
3 b+ @- g7 G  w. X

' H, m% |+ m# V8 [1 U


其中  为所下注之金额。利用

; y& i1 }2 `! A
5 D  K" ~! I$ v2 q) K9 u. H
* L4 R; ]6 h* t& |* u
! J& i! f9 w! {7 v" v6 M: B

. ^) U1 j4 x/ R5 e% h/ p0 B$ v' y+ o6 f
* ~2 E- ~) Z) t  h9 M$ p
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

. H% M9 d! g) k1 g
( b; b* q3 Z: Q# U
; ~: T7 ]& I$ X7 ?) i5 \$ K

1 L2 e, |0 K/ I8 C/ K* F
1 D& @5 q: l* v* I$ _
) e3 u  |, x0 }
因此可得在情况二， 时，




& t: J1 o+ A0 S1 `) e: }

+ G. [: a( o: N) b0 L; h  L, T$ T

而在情况三， 时，



7 A) x8 }0 `  E1 n5 E7 P+ k

, Y$ Z4 D5 `4 p

+ O6 m; ^" H# R3 ]7 }7 D5 |
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

" d! g% v* e* ?$ B% ~, r: F, G9 s附录
& A. `# A. {6 a# {  F

$ C, K1 G( i+ j6 I在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
/ \0 d. D9 V' Q& n; A
& M4 z" G1 z  ]$ {

/ I) R- X0 N' a: v



/ n0 G! J; {2 T$ s( D. e! o; n) Z
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！