随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
0 [" Y9 z8 [$ N6 i
1 b5 q: T$ o- s问题
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; Q$ q$ h" \5 V5 B: k" ?
4 t! `  y2 m8 |3 T! m# u. T' [2 W有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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1 k  p& H% M+ E6 x) K- @( `当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
" Z5 E" A4 i; T
5 x- B' l# s& B
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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' |2 P, C+ z2 `# Y; ~为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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+ C: j# k- Z6 u1 T方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
: G8 z" t& n5 I9 X/ m方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
6 P& {4 I  @+ e( q6 f你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

9 N$ [+ S* B! Z首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
) ]# \# Z: E. N5 D+ C5 _5 B, g+-++,-+++,
' O; \6 X* J$ G* x/ U! E5 S! z( m+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 Y# D% x9 _8 _* u( t2 `$ F, E                                                                                                。
2 {, t; {/ G4 X. ~* F在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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9 w1 [9 d9 f8 q4 x
1 l$ X, }3 R, [. G8 d
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
/ a( h8 ~/ T6 |. m' Z+ \-+-+++,-+-++-+,
1 z4 G$ T( L/ X/ M2 w9 ]# W                                 
, ,
                                                                                。

# \, m; K4 G% ?1 @% r- R仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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2 L$ d. O% O, I% M1 a
9 B. I6 a* V. ^& _2 I* e1 R

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* Z( X3 k. p% ~0 S
  ~- |$ M% T/ a
4 q; e. K3 X  G0 {- w- G
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
3 Y- l* V* [; i! T* h7 ~
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

+ G8 N- G/ M( y. a现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
7 t- j3 G( V( D; r1 ]
: |* j- \/ w: F8 k0 m& q
  \) q4 Q& U1 D# |+ o情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
; m' n4 s7 Q& x& B6 d9 T
3 E/ _' X% _4 v情况三：
2 m- D6 I# K# A$ L% @+ `此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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$ t! s+ n: O+ f2 o8 V9 z1 h由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
( c# t5 P: v7 I
5 `( a1 H# o5 A, H! Q+ z; H
情况一：  
: Q/ ^  |7 B& @% |9 m/ a假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



! M- k- H6 I* _- m6 g, C4 k" k

6 \4 ~5 Z0 f0 S" J: D
3 J6 [( g, x( |1 r& g! Z3 @+ `9 l7 d这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
, F& c  ]* _; \, C: @) \$ f) K
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


9 @- e8 [( O- }  o



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
. H1 d, B1 Y3 b利用p+q=1，上组方程式可改写为


4 g2 ]& X4 W2 f! E* v* E& l/ B

) T6 M; o+ `; H+ b

两边相加，并利用 、，得
  f0 a% W! D3 h2 g/ E) z3 E' `

% P/ S, \, F& i8 I$ _# r" h

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/ {0 N( ?" R% A; P, \
) V9 T2 _' O9 S9 B若取前 c 项相加，则得

$ x" c- X; w. V* |

% e# P4 Q. ^; z' H* x! r


情况三：  
仿二之解法，可求得


% N0 O2 m- t' m7 b- K4 F

; S! e) H4 ^7 h' v
' ~6 P( y% V) v: K  h8 m, S
7 j; K/ p$ y& ^1 R7 e$ c
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
. `% L) ~2 q7 t" A/ F
" h+ H8 Q3 [, Z2 ~# R0 [. Q4 w
定理：
8 o" Z$ @7 m  |% B  s: |设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
+ r2 Y# d" d# I5 S' a# {
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
* l) V: K5 ^: ^2 a
2 L5 P% y0 A& u: b5 n
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. v1 G2 p1 h7 p0 E/ C) {, P
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# D" s7 B6 l6 H, {3 y7 W8 p( m
5 B! X7 |$ r5 p. R* R" ?# M其中  为所下注之金额。利用

- K0 f' A# t: `5 D: P  f7 g
  A3 c/ H) ~2 M0 _# R; u
" j! F) z, r. N
  {. k) I2 h; X6 S


2 i- s6 r: I) b( i+ v3 b
- T8 F/ ^$ o* g/ {) N1 G/ _( v5 r可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
6 U  G: d7 A% X% u
6 J/ R0 [5 ~8 v
6 Y- X/ h2 d: e1 i: S# K" T9 s: A6 P& s

" l4 L* f6 @8 q  {, _( z



* M5 n7 o) n5 e- l因此可得在情况二， 时，

2 ?8 Z9 y: l0 ~9 c
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2 B( v% m6 n: i* K3 u$ Y5 v! j
6 s$ U& M  U3 {0 Q0 m. A
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而在情况三， 时，


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1 @8 |! d7 N* _  h" o9 a, d- U) R



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


+ p5 W) Q6 t2 m* i在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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$ Q4 m: Q# f) I1 s1 Z9 z
+ D- F1 O9 D# R, @
& p0 M3 g# g1 n/ x

6 X9 Q) s, Z6 f# R6 B6 D8 H7 `7 _8 m
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！