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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。
3 g$ M6 l" Y' m! |# D: A( F4 X+ L$ @+ q* v
3 q3 H+ H' K( Q& j) _* T1 h+ K4 h
想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游
$ D5 f: s' O1 _/ J3 s& Z& T# N( i! q$ v! e* S9 l2 A# y& _& i( `
戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵7 }, p* a& w0 T, Z6 ^9 D+ J
/ g; x" [# h/ J. _满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。+ n) X; P/ `2 r
/ o: _+ t8 X5 U* T3 W6 U; I) F
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法
0 n9 F9 {3 H9 y1 ?! ?! k" s
* T, P- i: R8 K5 Z' S S的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
, D" i; B, W9 H. s4 l5 W- }+ D [1 i) c0 b
端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。
0 N! V. `# b6 N% w1 q' ?# p4 |( ?2 N/ _
21点怎么玩
8 X; j3 h' J: i/ O+ v1 }虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，
/ G- W' r3 z( P0 u8 y& F
' e+ c( O2 h6 Y& e% D6 u& U1 e! X让我们先来介绍一下 21 点的玩法。: }. q# q1 B5 t9 g7 s% l& g
: x9 T* m2 o- h/ N" _这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到. d2 H" n; S2 }$ F* B
5 D: j+ D- A A) B- Y! r% q) C: }
7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
`* J& a1 ?( y8 b, H& p8 }
; t U' f( e. T8 S点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌
% I8 P# I8 a4 n; p
4 ^+ o* W! m1 }0 I1 G/ Q- S算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。/ j. f$ V! t( D; |
3 b O+ C$ K2 D% Y2 e2 A
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家
4 _1 X* o- c. v& [1 w7 f4 k: h O* M. t
可以选择：
! I' n/ v# j' X' |+ O. s& _$ q
) V* w$ U2 l- I2 P' l● 拿一张牌（Hit）
3 r( C, {3 Z: @1 h: n6 l( p! B4 {0 \5 \
1 c% v. R4 N* r● 结束拿牌（Stand） I% w% \' A ~ q4 F2 q/ W
) o5 G# @6 ~% ~# f- X- _8 ~● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）, e3 `! v) t7 U/ F. U* G
9 h$ X$ u; a* \/ V; Z; l0 c
● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从
1 g7 X% [1 |8 l' m, H% N; a: C% @! b, Z# d7 L0 G8 D5 U9 j* N
庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）* d. h7 H! h G) [; C" I, G
S% s, D* w0 `# q( g8 q● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）% l* B! ^- i% B: ?' @
! t" K: F8 [' v要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
0 i# ]$ ? n" c' Z9 t7 W7 j: R# s& d4 ^' [7 ]. T( o
Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。1 e' w/ \7 L! B
3 N/ O; V* u) K, d8 C4 o# p当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，1 q: w$ U& c4 Y$ H2 i- S
- T' L/ A& I1 _! q+ B y. X
直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，0 m2 x+ @) k- }1 w% a! l" L, \
/ o8 {" Q# L! b5 T/ s2 L所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
; i! R9 U- N; c6 f; U0 |1 K" _1 A$ C# V( {* n& _8 k4 \/ Z- ?
平局，点数少就输了。
3 U" x& j8 C- l2 J. x! e( Z
4 a% a U! S2 p当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
, }9 n2 k7 E" r1 z4 @! j8 @' E+ Z% P$ _0 ^0 n( y8 D9 J3 h3 j
和一张10点的牌），这里就不赘述了。
& r0 C y7 K# C8 U0 t
/ T0 Q, _4 n/ Q* g
3 ]3 R& `( `8 S高端赌徒如何要牌
+ A2 J8 k7 L# L6 [ k% s7 G( G; E; X" M; j. F& t
可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，! p; G% F9 d/ c
/ ~* K: j6 C3 b6 q0 I8 _最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什
% D) C+ T8 n9 d( U8 }# P& T3 J6 X5 i& p p* z: t
么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。% i9 a" W8 U( T6 v6 k
9 f g5 B: v: G+ e F
6 s0 V+ C' _5 {9 u. I: X7 L4 e上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄" L T' j8 {" E; A$ y D$ N
& m, j+ N9 Q. X家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前5 v& m1 `* P$ D: B. o
! s5 i1 n/ M0 G3 }' O1 U% O1 @& k
手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的
0 W5 a' `* q" `( h
4 {% n* i' o/ h0 S% I6 }话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
: L5 T% i+ N) z1 v. L5 L" V# ]. B6 D2 t
剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，
' \$ F; @' A0 S8 P- s" N. Q/ w
" E; N t! ^- _& E: a P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double
5 j" u$ f6 v* {+ Y8 G4 }* {$ b+ a
1 H6 q4 A9 W7 z: x4 d# Y（如果规则不允许就Stand）。; k3 ]5 W- a. o$ f; ]: K
- t& v) Q. m; a6 Y' c仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很
+ x. K4 s" ?6 H; I G D+ d% z/ _4 v9 }2 b. r+ [. O
有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4
6 I! }# q) `! w; K9 I" Y% [ V B% V. @" O B2 k
到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。, Z9 G8 x# g0 Z4 }2 W |) h! }* D: E
+ L( R5 Y" h9 G$ o9 c8 t为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先4 n- @7 A8 S. v+ z; J( y
5 r5 O+ k/ d# A) g- s! b7 G
来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于- t. R6 l& u. a' t: b4 I( @
% C- J$ ? i( r8 m* l4 E
17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。" c$ m9 J6 R# n" z
, A$ P5 Y5 Y4 z4 d
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽
$ S2 e1 ^! o, r5 ]6 f# F
# K' M* o/ a. d到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），: `, j5 w7 q/ E9 \
' A; ]5 `+ J! v O- w3 o设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：6 m* L1 R( W$ g T0 B
) j6 M7 V) f5 G/ L
F(H16) = 8/13 = 0.615380 A1 E8 _, s* x$ t6 D
" N& K& T9 F2 }4 i4 c, k当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：& n F/ k: L4 c& A2 h, X2 Q
. I5 k. D2 e5 w' O; PF(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
3 ]* F7 \2 c6 a c& V
0 h' m- {* q3 M$ h同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
7 ^ t2 t; S# k: L' _% @) i1 q& X
& `. [# n2 ?! L; K0 v/ t不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出9 o5 o* z- A: R/ R4 q
5 ~/ _/ B& [3 y2 g$ @ H2—H5 的情况。
& Q, q4 s# \# {+ ]+ D
. @. W1 L2 K+ S& _+ c' T那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：
6 J# G! g0 d% b, o
9 `) L Z/ _) B5 M7 N' T& S玩家没爆但是庄家爆牌
/ [* S. ]( |: B) Z5 K2 _( _0 n
" h! O- [: [: G/ o6 a- j玩家和庄家都没爆但庄家点数小9 r3 R% r! C2 S* Q9 m
( ?0 M {) x' Y% X. ]* `
爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌 ^# i; d- f' }2 U0 H
& b; q# N6 [" M- M' f; A为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
+ [1 ~ u, ^' P+ B! t
) j) f4 v/ u$ u! B1 e# ^* l- ?+ j, G如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：0 u1 G4 g8 @9 s) V! {
! @- A1 ^+ M0 r+ M& z4 l2 V
G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692
! I7 h! G# a8 X: f5 O3 l W( I& q7 v+ P x' \2 H) N% v) X
类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。1 @$ x: j/ E# J/ g" {
2 g' q9 }. U8 X. C$ r3 [; E& J在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：3 } N( T# [. U, S( x, R5 S
" P5 h* p, o6 ~3 q7 w
玩家拿到21点，庄家拿到20~17点, R' E: @0 `1 r- J
& A$ l5 \/ w8 x# ~1 i2 y1 t* N玩家拿到20点，庄家拿到19~17点
. g3 Q( P' v Y+ T- Z6 V" ?) T) e# d
玩家拿到19点，庄家拿到18和17点9 M% I- L$ j v, l! I2 N \8 C1 E
5 _; i8 [% _- `0 [* V1 O3 V玩家拿到18点，庄家拿到17点- b' m" h! C, R; h
$ R% C' e8 a1 ^1 G
玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，' M! [/ f) x$ [) H7 B
$ m3 R# a d& I: X2 _8 G. E" c: S
因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
- G' b5 C& ?7 Z/ u
9 g" i) G; F) r2 e8 k3 p7 X概率为：- Q# k: a) B8 V( [# O. N
7 y, ]& o. m6 ~( _: T6 |! T9 t% ZP4 = G（H8）×G（17）' }5 ~# x+ x' ^
4 ~, J, T. o" C8 F: a' ^/ E1 }
同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
- W" b) |- P* D6 m+ n$ Y7 }7 V, H, L; X: w( N, P% @' h2 a
2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：( A* f! y$ {3 B# F
) [, h* F' J6 j4 j7 bP(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958
; O' _2 ]& [, C
* f: H- ^# s2 N' ^/ s前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.358314 Q0 {9 v" S& g4 J* X' D6 ~
5 r" N4 m! B! k1 V" k1 d
P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。; x V* f+ q" @$ I
0 Y! Z3 |0 }. b: n. K
" E7 H9 z; ]! n* g4 c. S
4 y( g' L6 H0 {& \8 f |
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