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标题: 随机赛程的最佳策略 [打印本页]

作者: 狗咬尾巴    时间: 2010-12-4 11:08
标题: 随机赛程的最佳策略
引言
" b( y! D1 L, k& h: ?# j" w/ i8 E: u' ?2 x: a8 E  j0 C1 S% |
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 " G# s4 ]3 I$ \& \6 ~
  y" {3 {8 w4 D- t* k
问题 , E/ b' V) `: I" u1 E  `) Q
' x5 A% S: q9 @8 q0 R8 l8 X
: D/ K1 ~, M& n! E2 @* O! p* [
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
1 z. C' g! i8 b$ |5 J# g4 [/ S. _3 [# r' P5 G5 R& W
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
( R6 l( t- }$ _9 ]( U: b
" h% i# }  l% p6 a  t9 G本文 - ^; y3 L% a; z5 w  \4 W4 l7 m
! e; Y2 Y, K0 I
$ i, o/ [8 o+ V  A9 Y2 \
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 : L9 X" x2 ?/ i6 a8 @; d" F

7 \- S0 I8 p% P4 H* ?1 W为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 ' k! l7 d; m* D2 x8 Q3 ~

& m/ }/ k. n* Q5 {
9 z  h& s* \8 k6 u8 U1 x" d方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
8 J2 D( B6 t) Q* [( i1 n* x. I方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) ' X- U/ R$ l- y7 ^( }8 }
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 0 h' a5 T% A" T( i
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
9 R9 V9 K, M6 d" c. k* i4 K$ ~$ f1 F) h! A! N; C
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 $ \6 a. m8 L8 M* C' }" z  R0 a
% ]* m2 L( h  R( G
++, " M# }& l" u' r, h# J5 r: i
+-++,-+++, 5 ], P, c, g, V$ d- d/ Q% d
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, / ]0 e1 W; A7 W  L; h5 s/ E5 Y( _
                                                                                                。
) v% I) n  f. J' m6 }5 K7 {在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
. i! s2 i* p) Q: D, ~
; N0 {8 G0 U7 T- A7 e  b+ b
- K) Y  U" ^8 W6 s5 x/ ~( S0 p/ M; k/ a# N  b( K2 t

1 U0 @+ k" D0 u
. v* E  Q& g) e9 |4 G8 F: e2 ~5 \2 I/ P

/ y8 l1 Z" p) q4 R7 d
0 V" O  e% r/ l+ R- \- {+ I$ L4 D. }/ g
# [! N$ z# j, r- r( L" y7 G
3 p# _! J$ {7 X1 y( u3 f现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 3 u( I2 ]  [5 N/ O7 a6 o
. L4 r; o/ z$ J. |
++,+-+, ; `6 Z7 H  _% g8 |/ o' h/ c
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
, c% ~( M8 o! N0 K-+-+++,-+-++-+,
1 `9 `8 J, x, Y- N                                 
9 Z8 g4 D  f$ J0 z9 Q! t, ,
2 a9 {+ ~( c' n' s: e; a- i                                                                                。
/ o! b$ j0 r  C: a8 `5 W1 H7 A  o: P* ~: I0 m! O* X8 _& u
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 + ?; a- _7 b  W% ]4 v5 m$ I
( r( U5 |( }# i2 z( o

+ _3 s" H+ L' J3 K( l, i  j! k. Z2 X" x" e) @

5 V# y' W$ K/ a0 |: m$ i! i
5 |* y/ t  D4 t0 t! N" r9 F
0 J1 A2 W) y2 a& ^8 g' O9 o1 S, y5 p5 V$ Q
) n  z% p1 ], O, F
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
/ g) q# M2 t- Y7 P1 P- }. a/ p+ s. D' T) U3 ^
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 0 `. e3 I# f3 J1 I% U
, n" O# J1 C' y
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
: p: H# T1 |) q1 M* w6 @& H1 P( n' p( y7 L& d% H
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: z, g$ |$ J: }3 I) C& E2 a. Q6 v2 `: _: m  ]7 X
+ e7 M+ L1 A* Q: S8 {1 D/ p- _
情况一:  & p* N6 d4 H9 H) G! o! u0 G5 n# _
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 : m$ S1 v. d0 ]2 I4 _( K9 j
2 C+ i' }1 W( M4 ?+ a
情况二:  / B  ~; q3 {3 `4 ]
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
# _3 |1 R8 p7 b. M1 ?+ w: |% u
; t+ [4 f2 @! L( O: z  p情况三:
1 L- p/ R& u, G; {7 W此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
6 d- e% M& `* I6 Y: p. j( q
) G& _5 }. [# \1 f, a! ^现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
5 {9 F, f' n" A# N' s# y: u
! m7 J7 ^. x) u2 u* t由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
9 x/ ]: Z- F3 {' Y6 m5 x( s+ u) N1 C
; V$ y; w3 y! P$ T# D4 m- X# J如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 4 E' \: n$ T( V9 |! J4 L  Z3 Y
  m- ]2 h3 r" I5 w6 K$ u
* f8 H5 @4 `7 o7 i
情况一:  
# K" _: [" a/ Z假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
/ j4 }) l1 j: c* g' Z
5 |  e0 Q- z: R! W& l$ E# j+ x) {6 j, Z- N
3 a5 v( X  H  h: B' f, s

7 Y  a, ], {2 ~4 f4 v$ a2 L. X7 [; r

6 i" I2 R& y$ O2 s; T$ U# P7 O这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
. d: h  R; x2 b/ w8 T2 {( H1 A
3 }5 s) J8 N8 i& u- f7 x9 A情况二:  / f" o3 c6 O; F0 S- G' H! ^7 \3 T
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 % o  m' T; W- `0 q! c6 \

; u7 C  i" Y3 U% r4 |) x; W& J1 E6 h/ H$ P
8 o0 ?- P1 o" a6 r" }
9 c$ \7 Y+ c- e* u
! B0 f' W0 _; Z6 i+ g4 B

2 k: n4 x" z- q这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
2 n; i6 Q# A1 z9 n/ N利用p+q=1,上组方程式可改写为 ( c# y( M6 y, v
+ `; Z6 }. o. A1 n$ P5 p

$ I2 a6 r5 r, v7 z. T* U+ [. _4 [: P& Y

1 w: k$ w: P4 l8 I0 L; ]3 n" E$ Q$ y( }, H; Z

; i: B" U3 C0 y; c& z两边相加,并利用 、,得
" D( Q, M% B( E  B' E
5 c8 }, K8 p& f, L1 }  }
5 Q: |5 `' f' B5 G) R; X7 h- s7 Y6 K# Q/ ^3 N% S

2 l$ \& [6 V9 y5 J* j* P  G! X6 j, E" o8 \4 h/ W

, b. h7 R3 J: R& d若取前 c 项相加,则得
& ?" _/ q7 O: u8 M/ B7 y
; C5 C3 A+ x+ f0 B4 E, x% S+ `# c# e7 v. p$ j8 m$ I
2 B& C8 v. i/ n4 R4 c+ Z6 }

7 [+ R) ?" |* O! B8 f: |6 R) w+ m( A: X2 j2 F

1 `& G! V/ E" M/ I情况三:  0 j  U0 U* B: f+ k/ B# V4 ^
仿二之解法,可求得 2 P7 B" V* G/ `! @

2 ^8 ]% S* V! z/ f% Z6 I$ w) Q7 r% ~+ v6 w* e

- ^. s  G# I4 }% B$ d
7 j1 |* F% E- z$ L1 Q5 o8 _& Y3 M% o0 G+ _/ ?8 b/ A
( Q9 b! O; N+ S! e
2 F, T! z6 Y2 I2 T; @  E
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
% A$ R- [* Y$ ]: x' G" T
2 M0 q; |' w5 [0 E3 X' M3 I* K! A首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 2 q. ^1 R& r: B0 K2 _% r# v! H9 _
* B8 ^$ q- a! d0 G% W% O# s" C
7 [# V' I, p7 t/ W' |
定理:
; T0 x& R6 p' X: T3 \2 C设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 8 |( H. Y8 @) i" l
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。   U* ], |4 T4 a
. ]2 u  }$ e  D& m+ B  n
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
* D# J4 ^! ?+ F- h9 Z) |* o# s( \1 a9 B1 }; h# w- m
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 $ ]% {7 f$ }1 R

# a4 l( T4 b" |- e- a/ }3 u; M3 [0 R5 I至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
6 ~8 w) `" ]# V; \
; j" r% r6 E" i% E" v) W7 h* u4 o3 d2 R+ D

( _: ^, m. c9 x" S* Q. l* O2 W4 ]/ w! O4 x& F
5 n$ G+ [" B/ s! U9 h, v- B6 M

. K; ^3 R. |6 U: K0 [. ^5 t/ r1 S7 \) o2 M7 n. v$ e

8 F8 L/ Z$ d+ ~8 _! x其中  为所下注之金额。利用 1 M: A# z( r9 m/ Y+ A1 p

& K6 @, }* |+ {& b9 ]+ ?4 Z8 Q. s' R+ S+ C7 i

" }; y4 z) K1 [4 w* ]/ R* U7 K2 V0 |0 q) N/ ^& K5 N

$ P$ G/ {+ @5 j8 U
! V+ q! [" P9 q0 \
9 r# e4 g* B2 E  {  W; _$ i4 I$ g" U2 C" }5 M$ j; T5 n
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
# ]4 Z6 F8 j, P8 A
/ R# F, ^- O. m( j, w; C# x/ C9 o
# n/ l2 S  R& b! b0 X$ U& `4 u- {! |1 ?

/ t* a, S$ L+ @) q$ D0 d
4 U4 U- H+ V) R/ m3 `3 X4 `$ y# t2 l5 y/ Y# R8 U' g
  X* h# j) U( m- d8 u
2 A- u9 m5 v$ [* ]
因此可得在情况二, 时, 1 ]& M) ]$ O& y- o9 [; n
! }+ W& Z$ f3 ^! y0 U) _" g8 z
; [( C+ u. y& q8 Y

, h: X: B& a% O; d' x; m2 A
( t3 ~$ I7 V& k4 u  B$ U4 q) ~
. `& e6 s; }5 i# ?
( x$ v3 G' G$ C7 N: ]
: s1 T' U0 X& f* T- s* C  s' z' e! f: y
而在情况三, 时,
$ T9 |! K* f# @' I. }4 ~# y7 e. S) K6 h4 z

/ D  h( @9 h) i
% `1 }9 e% S, W3 a3 q
; H+ m$ h: F( I; H. b/ j
# g& R, W4 J$ [2 `1 S" b" r7 V# X" h
7 B) K% ~" S2 i( T) |
; v. Q0 A! M4 e2 Q+ w; I
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 . @6 H- n1 _  ]* H! x( D) l

# T! x' T) R/ w6 [7 h至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
& m$ i$ _3 s1 G1 B( O
/ ^" ^- I* ~, l7 Y附录
5 a) D9 U+ ~1 H5 v: O
6 E# k) U% |+ o, N* \+ B& s" p/ J0 v6 @% Z
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
' b" X; e) \( [& [' t. b
% i6 |: m5 K7 H9 p4 a7 W9 [; [! T8 H* A* `* P: h

$ k: R( u( t: j* l5 [) p' I7 a: g% P, g$ l9 T
: b: x/ {; [, r$ x5 p" L
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" Y$ e2 W. s  K+ p" s/ ^. M) U
% N! l2 Q7 o0 g+ D, M另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
作者: 爱拼猎人    时间: 2010-12-4 15:13
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
作者: tb35891    时间: 2010-12-4 16:55
好文章,学习了.
作者: tb35891    时间: 2010-12-5 20:28
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
作者: 牛二哥    时间: 2010-12-5 23:11
我也来学习下
作者: ck6767    时间: 2010-12-6 09:46
太深奥了!!!!!!!!!!




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