优惠论坛

标题: 随机赛程的最佳策略 [打印本页]

作者: 狗咬尾巴    时间: 2010-12-4 11:08
标题: 随机赛程的最佳策略
引言
5 D# S; x5 A# B( u- R$ h- l4 u6 n7 d$ Q* [( V: I
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
) t1 b  [  m9 x0 H
8 b5 [8 g4 J, m. y- f问题
* X& J% Y4 h6 b  X2 p0 d7 L3 q
5 Y! W" x# K/ a3 A: p+ c% S' k1 B2 G: i, l" Q
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? % ], c) c. E7 F. h
4 Z9 X$ r! `. n- c7 _/ S9 l1 ?8 w
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 5 ]; m$ r4 r- u9 A, }; G: r/ @

" G; _' B6 H; ?, w, I# z本文 6 \4 n: z* |9 B
# U( ~; Y. W5 w$ B1 _3 M3 A

; W8 B- Z8 d6 @4 U6 R# U3 P2 N问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
5 ^! @" N2 ?1 T+ ?8 a
" s: L" ]  L  h- Y0 W为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
  \6 c, K' Q% l
3 j) u$ a7 T' ~( J; b' a
& F) C4 _. A9 \- Q( b# `方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
1 {) w& g; V" x$ {方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) * o! D' `  P: ^
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) * U$ J' c5 y# a7 `% O# [0 d; `  B/ S
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
% c" J8 x/ \! [. p/ Q) S8 t% k( L8 i2 \! `* ~: ~
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 0 @! a! X! Z; R) _4 X7 d/ t1 X

& ~, L$ p  y- v3 P. U- }5 ^++,
# X9 ^# d5 E2 W; O+-++,-+++,
' a: G- ?/ p0 t! g+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, : Z4 g8 L* X) M2 x
                                                                                                。
8 D" P* O. R: {8 R7 h+ O) c在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 ' Y* w* x  {/ _0 S" R* S* {6 v! Y

. b+ ~& g; z  Y9 ~, d: P% }
- U) ~6 f; J% s% k$ P
/ E1 x- i7 w! R
& p: c  I  {2 w, H3 x9 O2 k9 h% N) B- ?6 e; A4 G3 J' Y

; m  U+ R% k1 b8 s# t0 }( t! \# a
+ J! d, h8 ]* l
( p# }; g0 y4 V: D- Y6 J- V5 I3 ?- m% R' Z3 n
2 u2 O& ?; L% C: q5 n
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 & a4 @% ^$ H" r0 u9 q& u
9 a3 R' L! B. o. I$ S! p6 @
++,+-+,
: A1 _- J+ G; e-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) . O1 q4 ]* C8 O
-+-+++,-+-++-+, 9 h. b; d; a8 r+ i6 @( ~' ~+ ]
                                 3 \8 I7 S9 e; e, _6 s# _1 N
, ,
& z+ S, t) |' T7 A6 u                                                                                。 ' {  U7 i6 ?( q3 t- h8 p, e

- l. N* ~1 P$ ~仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 & F% d! Q7 F$ ?& Q6 q1 |# s

5 T! D9 R8 l6 V0 x$ h; u3 \% _5 T" S" G: t3 d' `4 t4 M% c% n
  ^! u5 S- @% J

0 ~0 k% f( ?8 t$ T# O* b7 r: T6 j, A! o, l7 {. g+ h

' \* w7 q# ]& ~. }& L3 ^; ?" [! H+ R) k3 Q7 X4 \
. E1 K7 w* j; v' H0 l  B2 C
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
! I8 |% @2 l8 d7 t' l. b9 {; d( ?% A  c5 S+ y8 Q
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
; e9 S# @( z8 k8 s+ v- ?
) A  R" N, r1 L3 S这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? # Q. j* S" m. Q; s: X
( F, d" t! C) g+ g  Y8 H: v- m
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
' y* N; j' s: O! P7 h+ N# y
  E" p- L* V4 u  h& T; z: E
; ~6 m6 g2 X* ]情况一:  
$ w: E2 G3 C. \' M  z; S0 M此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
2 a: f. J2 M+ P) d* d) J' o( @& G, E! |& Q4 g
情况二:  : t* e8 s! J2 {5 |" d3 Z
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
5 h3 ]* m6 r' m$ F( q" l. U+ ]# f) U) ^8 m# {
情况三:
0 U/ j- p# m2 [9 ~0 @此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 0 |/ h$ o$ {$ t3 t/ f0 t% {: L
! f) n4 q9 E  u' u+ o% |. Z
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
+ e' T; g* i) H$ {, i# J, s  _' ^! W, O' a+ q% `
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 . k# M6 `9 R# d' k3 }+ ?. u  L6 {5 q
! [. ~) o) b: C7 X% i
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
0 ^' j+ c9 f4 V% \2 v( u
) @+ x  f) P! K" b3 T- J( x0 D2 L* Y8 b5 ]- t
情况一:  
1 p5 V1 U; I/ N+ c8 e9 K& K假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 & w: d/ Q% |6 r, V; J

/ j1 ~; g5 o/ l& H- R# k8 _( c8 {8 U" G3 t% E/ ^
$ P+ s% i, O& S
# a+ r' [4 W/ i- E3 }* n* C

9 s5 n$ x0 a0 ^9 b. H: b4 u; r: F% G1 W
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
6 E+ K1 l/ ?& o9 @
. @6 R: C0 M- V$ D' [8 E, c' _1 A情况二:  
% E2 n) D3 }5 {- B4 p) V令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 7 o; e3 @) k- I! y

+ L/ t  ~; S, `6 K8 d6 q1 l4 h
2 h' i3 V' N3 ]* y( x* v8 ^6 G+ T$ Y# L8 }
. ^, b6 E0 z/ n0 e+ W
" G2 z. M$ H; \4 l& w

" p9 a( Y( u) z9 _$ W; L: N这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 5 J* \3 Z6 ~2 x  k; x: G3 X
利用p+q=1,上组方程式可改写为 , p; L; \4 I+ x
; `5 ~' u% H1 ~  S5 V7 _! c. p1 O( {

# X( a2 g! C. i" Q1 p2 L" a7 X% }
7 c, ]2 G0 w) x! Q
/ g4 }$ {. M' J' D% V0 {/ v0 E
  b' A5 A( `% A5 d8 S6 j4 [# B  S* H( C
两边相加,并利用 、,得 ( O6 {8 w. T* R2 |' k3 K4 N  H" o

; F9 m5 x3 H) f8 Y# I( l
! X% O& n3 Q9 @% R4 H4 b1 G: @8 a% k9 G% s

2 s" Y9 A4 e$ ]$ b
* Y5 Y0 S& W$ h+ _, u7 q0 ^- H* q/ K% E( p: N; S
若取前 c 项相加,则得 ! r9 p% p1 O9 m3 K! E" K

; U) E! d+ B' ]2 |9 d* d6 Q3 M2 f6 V0 Y4 a$ t. c9 y
/ M7 K' M0 q$ z& \6 @
7 O$ r- {, C( e# _  @# R2 U+ t# {

6 m# @. _, L3 d" W) `5 a  y* o% Q! I7 v3 J+ z" B, s
情况三:    x1 }" z& x  O- l0 ?
仿二之解法,可求得
3 X. Z( }- Q. [+ H5 r1 F$ a$ H9 s. ?& E0 Q
; M7 P* o) r; K5 H/ {/ h1 V

* ^  T( y9 a0 i3 L7 \2 Q
3 ~! E7 [; @9 R5 t1 y
3 p7 p3 f, W2 _: H! f
2 h, s7 `" o5 |6 \
  r: A% }: [3 b  T% ]+ I保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 6 g6 {1 I  W2 M8 v7 l! [# q! W

$ K4 c; |) B' i+ |- }4 V首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
5 b. ~2 I* [' k* r5 r$ V7 h
4 ?' _$ E( a4 |0 ^0 s6 U- |1 W6 O( R2 r7 S
定理: 6 \7 S; f0 W2 m9 N: p  o6 K
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 1 O1 k) w/ L# b5 F
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 * ~3 h6 w+ o4 G" u

; _8 p/ N  @- g) n7 z. Y& V现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
0 I1 C, G- k# n7 q) x) Q0 h8 {
0 n' }& v3 x. O: I& N3 f* Y# n首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。   T5 L, K% {; f5 E- @( E
9 c0 e% L4 d: f3 j6 s1 I6 J& M
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
, G+ H1 Q9 i! c$ s# G$ C% V; Q7 _% y. x* k  w7 c0 ~/ l% m. s

# R$ @5 X7 m+ i& L8 m! e/ s$ w- E' u! ?% a) U
; |, `- N0 F) Z& Y. K( x4 K* \
( w. \) S8 c; T! A7 }7 e
( d8 W" {* R  m: n
7 j2 u) T  V) _6 c1 w# E
6 F+ ]5 F3 K! A; i" l+ _
其中  为所下注之金额。利用 * X# Z& b0 {  k9 A2 v
$ u, u6 z+ f- ^

. o9 i3 R; s' |" k6 e& e1 m
% e! A& K! P) e$ F5 p% s9 D) h! j, N+ m; B1 R) F6 j* z2 Q2 e% a
$ k, v' m  B* T9 V

- `& f- A! `. e6 \1 V% @& E; E5 f  Z( d. |. s' `

  S7 ]7 M9 Z) o可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 ! p$ D  E% b' D0 s% c: s8 A

8 a  t" C- W4 J/ `. \) C  M2 ^" l6 c1 a; V

2 d2 D" ]  h5 j2 r2 x4 b# ~$ p9 v+ m! m: m7 n) x
2 k! f1 c, P: S2 ^9 z! w5 n' G

3 E& G& a# D5 U; Q9 ^3 K, ^7 W6 S0 V  O# O8 f5 m% |
" T) f' y2 q  u1 o
因此可得在情况二, 时,
. D2 |4 f& B$ h! C7 X6 N7 l1 F; F3 ~: b# L! I2 t7 v

# j' F6 K) R& I* ]. Z# c
6 y6 h$ u# B. }; a' x) C, W9 }( R: X5 ^& T( c7 {' {( j+ I
  F4 a: z8 h9 y
* H- B2 \/ U/ J1 W

! v, F* }: a+ w: k% Y8 ?& ~3 P/ W) D2 O# b0 W9 {. z
而在情况三, 时,
: @8 X& k# G6 v1 G9 c' W" j8 f' v  |
+ \/ r& n. z; j8 C* Q8 [0 c& A
4 A' G& j3 a) i2 F9 o0 R
' Q" l# G; n/ o3 `; F  A

2 H6 E9 E( o' k4 w; y/ {' d! t$ {* k4 b# f9 [* Z
4 l! I; a; `0 K0 u$ ^5 q
. `" G6 j' }, i! \' a
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
" r0 S2 n% [. G: a* x& N8 R- c( S( d% P5 c
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
2 H6 }# a4 z1 p# s! P$ h, H% ^4 n1 q5 ^
附录
1 s8 Y7 u5 a* U7 B8 N0 `; t% m- h& L6 f7 _/ Q1 Y5 C
& b9 D- a. s. Y% w/ q4 A
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
) X+ v& Q: P  f) R4 K( O. R4 ^0 i! F2 P8 F$ z. F; {
5 b. q$ h" e+ i: p
7 \" V1 V. F, w8 F" d* ^% X" u

, }: z& K8 R7 W( z( h: ?0 E! o4 Z2 _; N7 b9 M  `
/ p9 E% @$ B" |0 v

+ [% I; q. ?! a& l
/ n2 r& u# y8 F$ }另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
作者: 爱拼猎人    时间: 2010-12-4 15:13
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
作者: tb35891    时间: 2010-12-4 16:55
好文章,学习了.
作者: tb35891    时间: 2010-12-5 20:28
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
作者: 牛二哥    时间: 2010-12-5 23:11
我也来学习下
作者: ck6767    时间: 2010-12-6 09:46
太深奥了!!!!!!!!!!




欢迎光临 优惠论坛 (https://www.tcelue.ooo/) Powered by Discuz! X3.1