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标题: 随机赛程的最佳策略 [打印本页]

作者: 狗咬尾巴    时间: 2010-12-4 11:08
标题: 随机赛程的最佳策略
引言 0 N8 x, l2 k% C& n) u4 R) K9 k% n
9 n, B! N5 t9 K/ w+ I0 ~
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 # ^5 @8 i) q5 @& m3 e6 j. o

, x, k6 t1 ^0 j4 X9 b. T问题
/ p+ }5 \4 I' [% a$ u  S5 _1 \  D+ V6 O! i! d

  z7 u+ H6 g/ |! k* ^有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
) a8 q% X2 `* u' Q% j4 c$ H' K! A3 T# B$ l0 n  w- L
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。   ]1 U! U" h" e# n1 Y
, h) x* q. }7 m# c# k& X7 i
本文 2 a9 w$ W: Q2 W# |0 L
$ d% j0 [( \# N
  W  Y# B3 Y* \+ x7 x
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
; n6 G( v0 V+ \( V8 b( }0 n8 q0 O3 @
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。   O9 w) u- s  H6 o3 F6 q! H
- V9 J! i1 @1 y* S( I
' ]* \) V% {4 E" A: L
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) / K# s$ ~1 e" B; ^- {; ^9 M
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)   U  A$ U, H4 K4 E9 P2 e
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
( s3 M1 f6 j( h你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
; @' U; J3 X% Q4 M% A: f
2 V' `* @7 |4 ~' O. ^6 F+ w首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 4 Z# N6 [% z, l0 w
7 Q9 E% S2 `  K- Q$ T7 d8 m
++, - a8 H" H& E! |
+-++,-+++, + s( o; y; R) J/ V0 ]1 H
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 2 ]- S& p5 h6 v% T
                                                                                                。 9 G+ K, W  Q9 X
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 9 a: L% l5 `; t6 u2 [- j+ \  e  ?
! A- Q) a$ r9 d3 E; P
% {- i0 b9 Z2 O, M) O
' N& \. R5 k( H: q3 Q

6 j8 T3 v) |  f6 G' b+ G1 D4 w
6 u- h2 ?! S' I) ]9 G6 j- l% m3 q

8 Z9 b/ }" \! `4 w
$ i- i+ [8 d9 F! w* J: o% T$ X( Y8 P' \$ E5 C  \

. h' j' L5 [9 w" P$ o2 v) b+ J现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 9 w( R1 H  n7 }* t; {$ F4 I% Z# [
+ }5 L7 y+ A+ @6 I
++,+-+,
$ _! `! F5 ^" X9 m% |4 h" o-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
/ g+ ]4 t5 L4 a6 a. R. g5 J-+-+++,-+-++-+, & d; C! J4 X* i
                                 
/ v% p& W. |- p/ t; g, ,
$ X4 a: k# b7 G  u5 S, N                                                                                。 % I$ Q7 n  y, G/ i7 M% D

! U) C, z- _' d仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 0 l* d+ n* ~/ ~6 W4 b0 K
) O- U7 `5 D% p( F7 R

9 S* N' J* x0 L) P4 Z4 S$ X  z
  }4 I  F* s. a" w3 }5 q  ~4 h2 D/ C  @) G/ M0 u2 E5 f/ W* L2 D9 b
1 }5 d% c3 ^; X: {$ `" ]
" i- m- ]* z: p" y' L! n; U

) P* U' K: @1 w& m- N/ L
" G# q0 |6 e4 `" I最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 7 F7 Q+ B2 ]: E1 K, e" A3 Q; G
: d" Z7 t4 q! Y% x  a
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
) m$ t* ^) q* P2 B" O' F! C  h/ h% `) X
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 6 [- v8 p/ E; G! l. ?& y) B7 h- E
/ \( ?- G1 L2 p, s& `9 M$ e
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 $ p( ^5 P- P$ G  J

( d- p* i% I* [- p6 s: a! l7 T& E# ~/ h' H& f
情况一:  
* Y* Q! l8 _9 ~) A7 |! w此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
+ z- f' G& |( I7 a4 |  u0 I1 X8 n1 Z0 u$ |) Q; @, {
情况二:  / A2 {, s2 [1 k6 P+ U
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 # j$ q; L5 P! ?! @
! ^$ B' X; Y; r3 T
情况三: # J. s. E- a$ g* v8 y8 c9 F3 \
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 + X3 w+ ~! P+ ?( [* c) o- K

2 L+ T4 O' M5 u( E6 e现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
6 ~9 t% H- w2 h; p7 C2 J2 p' H% u' O
& ]6 @7 v) Z! R5 ^& q! l由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 ) w% o( j$ M* e8 o8 O" u1 i

2 P! }, ~& T1 I& ]' a- ?2 s如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
$ k$ e5 H8 l! ~* I" x# }
/ \* y2 [3 O( [0 J9 y
* r0 v& y) V1 ?- y" T1 C: W9 u, s/ O情况一:  : f5 Q% t- K+ G7 E/ s* O
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 2 @) t4 x! p: q2 L! _0 u

" r/ q5 u! F8 u* Y- f
+ U9 G1 T, L1 m7 E& S' q# n- o4 l- t0 D" \
. R  z5 A3 R! k
* J# \) X* U7 P7 s
" w4 f) S% \: r4 |
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 6 B5 |2 ?& y" X4 v& y2 Y

# O- |1 u# d9 \0 o情况二:  
0 J, c6 e5 T& L令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" \9 W  Y) i! p" c. v
; K) i7 i+ C6 b1 X! {+ M+ K0 W$ N) j0 ^$ s1 M

7 P) b1 W. r0 b2 m6 ?* u5 V4 E5 \3 \; R+ i% q5 h, Y

* J9 o8 V: K4 s6 z, @" ~
) j' X2 d( W2 |4 e& |这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 9 M' u) ^  D- Y7 M9 q
利用p+q=1,上组方程式可改写为
4 f; [2 e& p2 Q
2 E5 m$ q% M0 C0 N
; w! J' `  V, v5 g5 w  s- t! K6 B  G
" ^0 z- M8 T( _5 z

9 W) |8 i  l8 p  ]2 B4 E' v2 i- ?7 `4 B) j
两边相加,并利用 、,得 , T& _' b2 |8 Q& p7 b" K
: Z3 e! J6 R- ]9 R+ l

+ |8 H4 E: ]; g  n
: U7 {0 o' P* p, m" C* F/ N+ [2 a. D) K3 t- l2 G/ @
& q9 L  M" D0 ~2 D! N& `; |
( J0 P% I3 C  y' G
若取前 c 项相加,则得 1 A, \6 d4 X; j0 z% Y+ p! Z
! f7 z; b! H# f! i( L& u5 c9 k
$ x$ Z4 L, s, c' G0 {+ E' w

5 Y7 F8 b( G8 Z6 i2 @" T* L3 S1 A5 N6 F, B5 \

+ a/ s$ V5 N# J$ |1 w* D
- U7 P! i4 |) M2 o3 K. Q4 g情况三:  
: V+ ]8 W; {% {: L7 i* \仿二之解法,可求得 0 n1 t% w& c9 I' ]
% ?# g% h" P8 _$ i) }6 F
! i' F# {4 _: z* J4 O

* i# ^- P0 o8 j2 f/ V. l: h4 S4 a& W/ L! _: w! _) o3 Z5 V% d

7 H( \+ Q7 s: W$ g* a( E) f0 k1 P+ H, A
- |- A) e4 O3 e! |. M& t
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
$ o! g$ N* P$ X
% Y+ A( T( E5 A' K首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 # o! ^; d$ U6 F: r4 `* z& ?

& Y7 }0 ]. X2 M; G
8 L3 k. G# w: i# d& d' p0 q0 S定理: & p- O% c- x* s' ?. `4 x
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
2 p$ L+ O: \* U, _4 C3 \9 Q* ~! a此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 " j- a- x2 D1 x8 {% y, X

4 S! n# k, c& n. N% e, R现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 : S: ^6 B+ e; ]! w) ?' T

& O) x$ I& H9 o" [( H$ U# B7 g首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
. O4 T  d/ T! e) V2 D: D* _$ \1 |! `4 A% ?( m3 e* N  `
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 & T3 G7 c# q2 s! i
% J$ Z9 Z$ |  `* D2 @0 F
) D$ Q  d6 Q& O) u

* h" l2 H! h! w+ k$ b6 {% C+ H1 X, Y0 z
9 Y( n, G: o2 I( O

/ k: _# ~2 q5 X4 E) [& j- Z* q( }7 P# w( |# F, N0 i
# s/ i; [1 K' X  n* r3 @$ S
其中  为所下注之金额。利用
9 }- r" l* x9 {0 _
6 j$ C- N. q5 I" K6 ^9 w- V# q! P5 `/ N
, K$ @' U. g0 _* n
; b  C  X4 q8 i3 ?

' c8 N6 s5 U3 }2 M; H
) r# m( i. N% P; r' q% e) m" u
7 V$ _# V; U1 y* T- F# N: K$ h  H
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
. G  \. j' Q" A, K9 v" d9 l- @8 a& S4 ]& S
+ ^+ D1 V1 X9 i. z2 I

, S! S. ~( {, {$ f3 q- u9 E( j" D  a
) O- l9 R+ R$ A" v1 w) X

$ W) B4 ]( n" f, B. X8 v5 h8 W4 w7 S& i: G& R

: ~2 c; j/ U* r% {) Y, ~( `因此可得在情况二, 时,
# h% U% P: K. v& Q) R
& X6 _  k1 c1 }$ o
% Y' K5 t+ E! Z, _. e& P
4 E& r0 R; b+ P) D$ u" a/ `9 O( X1 L1 o4 t0 p; j5 A! g) u
0 a  N  P" k" g& f$ |
# I! C' W, t% `# {

" n, K' F: S( |1 l6 p! Q0 j/ a; j0 ^0 }: p5 B; a" t5 @
而在情况三, 时,
2 f6 L; G) E" \3 x+ t9 u1 M; J0 }  t' ^3 }: p6 N5 V* G
* B3 R/ r. J$ k) c6 G* z' @! y6 s
$ w* g" u3 i5 x% f$ f5 z

4 X4 v# R. y* Q* k/ E' E. x. Y$ k( }# c$ b" s- W
/ a; e# ~3 {8 G

6 L# h# m0 E4 u' W- Q4 T+ D) }  j/ x; R1 c& Q1 |; v8 \& D; A$ E
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 , o5 Y# M  F0 t3 A) r
) s) h6 E& l0 H  V; h6 J$ a
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 & ?( o0 H  G- z9 a3 K/ \, h

% K" }  f( C; ]; F. E3 e# C附录 0 g0 Y1 Q3 z+ J: ^" [4 X

7 L# n5 u# `8 b, o& Y' |+ U/ F9 Y/ M
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 - G( Z$ _9 C7 t3 v: \, |

9 c$ _( d2 @, N) C. ?
- O! ~4 m9 C6 N" S
  a) G' z6 R: V" g3 c  ^4 d5 j
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" B6 J4 h* W: Y% k3 d. N3 f9 a8 ^' |" r: Z4 V* l5 E' {$ t
% _% ]* i5 B% O8 ]4 J5 w0 I
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
作者: 爱拼猎人    时间: 2010-12-4 15:13
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
作者: tb35891    时间: 2010-12-4 16:55
好文章,学习了.
作者: tb35891    时间: 2010-12-5 20:28
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
作者: 牛二哥    时间: 2010-12-5 23:11
我也来学习下
作者: ck6767    时间: 2010-12-6 09:46
太深奥了!!!!!!!!!!




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